Question

Найти частные производные первого порядка z = arccot(xy^2)

Answer 1

Ответ:

$z = arcctg(x {y}^{2} )$

$Z'x = - \frac{1}{1 + {x}^{2} {y}^{4} } \times {y}^{2}$

$Z'y = - \frac{1}{1 + {x}^{2} {y}^{4} } \times 2xy$

Answer 2

Для нахождения частных производных первого порядка функции z = arccot(xy^2) по переменным x и y, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Для частной производной по x (при фиксированном y) применяется правило дифференцирования сложной функции:

∂z/∂x = ∂(arccot(xy^2))/∂x

Для этого найдем производную arccot по аргументу:

d(arccot(u))/du = -1 / (1 + u^2)

Теперь выразим u = xy^2 и найдем производную u по x:

∂(xy^2)/∂x = y^2

Теперь мы можем найти частную производную ∂z/∂x:

∂z/∂x = ∂(arccot(xy^2))/∂x = -1 / (1 + (xy^2)^2) * y^2

Теперь найдем частную производную по y (при фиксированном x) аналогичным образом:

∂z/∂y = ∂(arccot(xy^2))/∂y

Опять же, используем правило дифференцирования сложной функции и найдем производную arccot по аргументу:

d(arccot(u))/du = -1 / (1 + u^2)

Теперь выразим u = xy^2 и найдем производную u по y:

∂(xy^2)/∂y = 2xy

Теперь мы можем найти частную производную ∂z/∂y:

∂z/∂y = ∂(arccot(xy^2))/∂y = -1 / (1 + (xy^2)^2) * 2xy

Итак, частные производные первого порядка функции z = arccot(xy^2) равны:

∂z/∂x = -2xy^2 / (1 + (xy^2)^2) ∂z/∂y = -2x / (1 + (xy^2)^2)