Question

Ввчислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=1/2x^2, y=2x+5/2

Answer 1

Ответ:

Надо найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения двух парабол. Для этого приравниваем 2 уравнения.

(1/2)x^2-x+(1/2) = -x^2+2x+5

Получаем квадратное уравнение:

(3/2)х² - 3х - (9/2) = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:  

Ищем дискриминант:D=(-3)^2-4*1.5*(-4.5)=9-4*1.5*(-4.5)=9-6*(-4.5)=9-(-6*4.5)=9-(-27)=9+27=36;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√36-(-3))/(2*1.5)=(6-(-3))/(2*1.5)=(6+3)/(2*1.5)=9/(2*1.5)=9/3=3;

x₂=(-√36-(-3))/(2*1.5)=(-6-(-3))/(2*1.5)=(-6+3)/(2*1.5)=-3/(2*1.5)=-3/3=-1.

Парабола с отрицательным коэффициентом перед х² будет выше второй, поэтому при интегрировании надо второго уравнения вычесть первое.

∫(-x^2+2x+5-((1/2)x^2-x+(1/2))dx =  

Подставив пределы от -1 до 3, получаем S = 16.

Пошаговое объяснение:

ну, я не уверена

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения, а затем интегрировать разницу между ними вдоль оси x.

Сначала найдем точки пересечения двух кривых:

1. y = 1/2x^2
2. y = 2x + 5/2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для y:

1/2x^2 = 2x + 5/2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

x^2 = 4x + 5

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - 4x - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -4 и c = -5.

x = (4 ± √(16 + 20)) / 2 x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x1 = (4 + 6) / 2 = 5 x2 = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь у нас есть точки пересечения: (-1, y) и (5, y).

Теперь мы можем вычислить интеграл для площади между этими двумя кривыми вдоль оси x:

Площадь = ∫[от -1 до 5] [(2x + 5/2) - (1/2x^2)] dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [x^2 + (5/2)x - (1/6)x^3] |[от -1 до 5]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(5^2 + (5/2)5 - (1/6)5^3) - ((-1)^2 + (5/2)(-1) - (1/6)(-1)^3)]

Площадь = [(25 + 25/2 - 125/6) - (1 + (-5/2) + (-1/6))]

Площадь = [75/6 - 19/6]

Площадь = 56/6

Упростим дробь:

Площадь = 28/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 1/2x^2 и y = 2x + 5/2, равна 28/3 или приближенно 9.33 квадратных единиц.