Question

Помогите пожалуйста: Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения: y'=(2y+1)tgx и (x+xy^2)dy+ydx-y^2dx=0, и распишите полное решение интегралов в уравнении.

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y'=(2y+1)\, tgx\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{dy}{dx}=(2y+1)\, tgx \ \,\ \ \int \dfrac{dy}{2y+1}=\int tgx\, dx\\\\\\\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2\, dy}{2y+1}=-\int \dfrac{-sinx\, dx}{cosx}\ \ ,\ \ \ \dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(2y+1)}{2y+1}=-\int \dfrac{d(cosx)}{cosx}\\\\\\\dfrac{1}{2}\, ln|2y+1|=-ln|cosx|+\dfrac{1}{2}\, lnC\ \ ,\ \ \ ln|2y+1|=-2ln|cosx|+lnC\ ,\\\\\\\2y+1=\dfrac{C}{cos^2x}\ \ \ \to \ \ \ \boxed {\ y=\dfrac{C}{cos^2x}-1\ }$

$2)\ \ (x+xy^2)\, dy+y\, dx-y^2\, dx=0\\\\x(1+y^2)\cdot \dfrac{dy}{dx}=y^2-y\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{(1+y^2)}{y^2-y}\, dy=\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\\int \Big(1+\dfrac{y+1}{y(y-1)}\Big)\, dy=\int \dfrac{dx}{x}\\\\\\\star \ \ \int \dfrac{y+1}{y(y-1)}=\int \Big(-\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{y-1}\Big)\, dy=-ln|y|+2\, ln|y-1|+lnC_1\ \ \star \\\\\\y-ln|y|+2\, ln|y-1|=ln|x|+lnC\\\\\\\boxed{\ y+ln\dfrac{(y-1)^2}{y}=ln\, (\, C|x|\, )\ }$

$P.S.\ \ \star \ \ \dfrac{y^2+1}{y^2-y}=\dfrac{(y^2-y)+y+1}{y^2-y}=1+\dfrac{y+1}{y^2-y}=1+\dfrac{y+1}{y(y-1)}\ \ \star$

$\star \ \ \dfrac{y+1}{y(y-1)}=\dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{y-1}=\dfrac{A(y-1)+By}{y(y-1)}\\\\\\y+1=A(y-1)+By\\\\y=0:\ A=\dfrac{y+1}{y-1}=\dfrac{0+1}{0-1}=-1\\\\y=1:\ B=\dfrac{y+1}{y}=\dfrac{1+1}{1}=2\\\\\\\dfrac{y+1}{y(y-1)}=\dfrac{-1}{y}+\dfrac{2}{y-1}\ \ \star$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения $y'=(2y+1)\tan(x)$, мы сначала выразим уравнение в более общей форме. Заметим, что $y' = \frac{dy}{dx}$, поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

$\frac{dy}{dx} = (2y+1)\tan(x)$.

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого разделим переменные:

$\frac{dy}{2y+1} = \tan(x)dx$.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int\frac{1}{2y+1}dy = \int\tan(x)dx$.

Левую часть уравнения мы можем проинтегрировать с помощью замены переменной $u = 2y + 1$, а правую часть интегрируем с помощью интеграла тангенса:

$\frac{1}{2}\ln|2y+1| = -\ln|\cos(x)| + C_1$,

где $C_1$ - произвольная постоянная интеграции.

Теперь давайте избавимся от логарифмов, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

$\ln|2y+1| = -2\ln|\cos(x)| + 2C_1$.

Используем свойство логарифмов:

$\ln|2y+1| = \ln|\cos^{-2}(x)| + 2C_1$.

Теперь можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

$|2y+1| = |\cos^{-2}(x)|e^{2C_1}$.

Теперь учтем, что $e^{2C_1}$ - это константа, которую мы можем обозначить как $C_2$:

$|2y+1| = C_2|\cos^{-2}(x)|$.

Теперь давайте рассмотрим два случая, в зависимости от знака $C_2$:

1. Если $C_2 > 0$, то у нас есть:

   $2y+1 = C_2\cos^{-2}(x)$.

2. Если $C_2 < 0$, то у нас есть:

   $2y+1 = -C_2\cos^{-2}(x)$.

Теперь мы получили два семейства решений для данного дифференциального уравнения в зависимости от знака $C_2$:

1. $2y+1 = C_2\cos^{-2}(x)$.
2. $2y+1 = -C_2\cos^{-2}(x)$.

Это общее решение данного дифференциального уравнения.