Question

Помогите решить дифференциальное ур-ия : 1) ydx=(1+x)dy 2) sin xdx = dy/ sqrt4

Answer 1

1)

$ydx = (1 + x)dy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{x + 1} \\ ln(y) = \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} \\ ln(y) = ln(x + 1) + ln(c) \\ y = C(x + 1)$

$2) \sin(x) dx = \frac{dy}{ \sqrt{4} } \\ \sin(x) dx = \frac{1}{2} dy \\ \int\limits \: dy = 2\int\limits \sin(x) dx \\ y = - 2 \cos(x) + C$

общее решение

Answer 2

Конечно, давайте решим оба уравнения.

1. ydx = (1 + x)dy

Для начала, давайте разделим обе стороны уравнения на y:

(ydx)/y = (1 + x)dy

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

∫(1/y)dy = ∫(1 + x)dx

Левая сторона:

∫(1/y)dy = ln|y| + C₁, где C₁ - постоянная интеграции.

Правая сторона:

∫(1 + x)dx = x + (1/2)x² + C₂, где C₂ - еще одна постоянная интеграции.

Теперь объединим обе стороны и учтем обе постоянные:

ln|y| + C₁ = x + (1/2)x² + C₂

Теперь давайте объединим постоянные интеграции в одну постоянную, назовем ее C:

ln|y| + C = x + (1/2)x²

Выразим y:

ln|y| = x + (1/2)x² - C

y = e^(x + (1/2)x² - C)

2. sin(x)dx = dy/√4

Давайте начнем с интегрирования левой стороны:

∫sin(x)dx = -cos(x) + C₁, где C₁ - постоянная интеграции.

Теперь давайте рассмотрим правую сторону:

dy/√4 = (1/2)dy

Интегрируем это:

(1/2)∫dy = (1/2)y + C₂, где C₂ - еще одна постоянная интеграции.

Теперь объединим обе стороны уравнения:

-cos(x) + C₁ = (1/2)y + C₂

Выразим y:

y = 2(-cos(x) + C₁ - C₂)

y = 2C - 2cos(x), где C = C₁ - C₂ - постоянная.

Таким образом, мы решили оба дифференциальных уравнения.