Question

Найти производную функции заданной неявно: x^(2/3) + y^(2/3) = a ^ (2/3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Здесь надо найти производную функции, заданной неявно.

Для этого надо продифференцировать обе части уравнения, считая у=у(х). Затем из полученного уравнения выразить у'(x).

$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$

Считаем $a^{\frac{2}{3} }=const$

(С)'=0

$\displaystyle x^{\frac{2}{3} }+y^{\frac{2}{3} }=a^{\frac{2}{3} }\\\\\displaystyle \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1 }+\frac{2}{3}y^{\frac{2}{3}-1 }*y'=0\\\\\displaystyle \frac{2}{3\sqrt[3]{x} } +\frac{2}{3\sqrt[3]{y} }*y'=0\\\\\displaystyle \frac{2}{3\sqrt[3]{y} }*y' =- \frac{2}{3\sqrt[3]{x} } \\\\y'= - \frac{2}{3\sqrt[3]{x} }: \frac{2}{3\sqrt[3]{y} }\\ \\y'= - \frac{2}{3\sqrt[3]{x} }*\frac{3\sqrt[3]{y} }{2}\\\\y'=-\sqrt[3]{\frac{y}{x} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции, заданной неявно, давайте воспользуемся методом неявного дифференцирования. Для этого продифференцируем обе стороны уравнения по переменной x, предполагая, что y является функцией от x (y = y(x)), и используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). После дифференцирования получим:

d/dx (x^(2/3) + y^(2/3)) = d/dx (a^(2/3))

Дифференцируем каждый член по отдельности:

d/dx (x^(2/3)) + d/dx (y^(2/3)) = 0

Теперь давайте найдем производную y^(2/3) по x, используя цепное правило. Пусть Y = y^(2/3), тогда:

dY/dx = (dY/dy) * (dy/dx)

dY/dy = (2/3) * y^(-1/3)

dy/dx = -d/dx (x^(2/3))

Теперь дифференцируем x^(2/3) по x:

d/dx (x^(2/3)) = (2/3) * x^(-1/3)

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в исходное уравнение:

(2/3) * x^(-1/3) + (2/3) * y^(-1/3) * (-d/dx (x^(2/3))) = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно производной dy/dx. Сначала упростим его:

(2/3) * x^(-1/3) - (2/3) * y^(-1/3) * (2/3) * x^(-1/3) = 0

Теперь сгруппируем переменные и выразим dy/dx:

dy/dx = (2/3) * x^(-1/3) / (2/3) * y^(-1/3)

dy/dx = x^(-1/3) / y^(-1/3)

dy/dx = (y/x)^(1/3)

Таким образом, производная функции y по x, заданной неявно уравнением x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3), равна:

dy/dx = (y/x)^(1/3)

Вы можете использовать это выражение для нахождения производной dy/dx в зависимости от конкретных значений x и y, если они известны.