Question

Знайти похідні від неявно заданої функції: Найти производные от неявно заданной функции: xsiny – ycosx = 0;

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle\frac{dx}{dy} =-\frac{F'_x}{F'_y}$

$F'_x=ysinx+siny$

$F'_y=xcosx-cosy$

$\displaystyle \frac{dx}{dy} =-\frac{ysinx+siny}{xcosx-cosy}$

Answer 2

Для знаходження похідних від неявно заданої функції xsiny - ycosx = 0 відносно x та y, використаємо правило диференціювання неявних функцій. За цим правилом отримуємо:

1. Диференціюємо обидві сторони рівняння по x: d/dx (xsiny - ycosx) = d/dx (0)

Застосовуючи правило диференціювання произведення функцій та ланцюжкове правило, ми отримаємо:

(1) * xsiny' + x * cosy * y' - y * (-sinx) = 0

2. Тепер диференціюємо обидві сторони рівняння по y: d/dy (xsiny - ycosx) = d/dy (0)

Знову застосовуючи правило диференціювання произведення функцій, ми отримаємо:

x * cosy - cosx * y' = 0

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (x' і y'). Ми можемо вирішити цю систему для обчислення x' і y'.

Спершу розв'яжемо друге рівняння (2) для y': x * cosy - cosx * y' = 0

y' = x * cosy / cosx

Тепер підставимо це значення y' у перше рівняння (1): xsiny' + x * cosy * (x * cosy / cosx) + y * sinx = 0

xsiny' + (x^2 * sinycosy) / cosx + y * sinx = 0

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для x' (похідна від x по y): xsiny' + (x^2 * sinycosy) / cosx + y * sinx = 0

xsin(x * cosy / cosx) + (x^2 * sinycosy) / cosx + y * sinx = 0

Тепер ми маємо похідну x' від y у вигляді функції змінної y.