Question

Найти проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z

Answer 1

Ответ:

$\frac{x}{1} =\frac{y}{1}= \frac{z}{1}=t$

$\overrightarrow {n}=(\overrightarrow {1;1;1})$

$B(x_0;y_0;z_0)=B(t_0;t_0;t_0)$   - искомая проекция точки $A(2;3;4)$

$\overrightarrow {AB}=(\overrightarrow {t_0-2;t_0-3;t_0-4})$

$\overrightarrow {n}$ ⊥ $\overrightarrow {AB}$  ⇒ $\overrightarrow {n}\cdot\overrightarrow {AB}=0\Leftrightarrow t_0-2+t_0-3+t_0-4=0\Leftrightarrow t_0=3$

Значит искомая точка $(3;3;3)$

Answer 2

Для нахождения проекции точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z, мы можем использовать метод проекции векторов. Прямая x = y = z задается направляющим вектором d(1; 1; 1), так как любая точка на этой прямой имеет координаты (t; t; t), где t - параметр.

Шаг 1: Найдем вектор, соединяющий начало координат (0; 0; 0) и точку A(2; 3; 4). Этот вектор будет равен:

V = A - O = (2; 3; 4) - (0; 0; 0) = (2; 3; 4)

Шаг 2: Найдем проекцию вектора V на направляющий вектор прямой d(1; 1; 1) с помощью формулы проекции:

Proj_Vd = (V · d) / ||d||^2 * d

где · обозначает скалярное произведение, ||d|| - длина вектора d.

Сначала найдем длину вектора d:

||d|| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

Теперь найдем скалярное произведение V и d:

V · d = (2; 3; 4) · (1; 1; 1) = 21 + 31 + 4*1 = 2 + 3 + 4 = 9

Теперь можем найти проекцию:

Proj_Vd = (V · d) / ||d||^2 * d = (9 / (√3)^2) * (1; 1; 1) = (9 / 3) * (1; 1; 1) = 3 * (1; 1; 1) = (3; 3; 3)

Теперь мы нашли проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z, и она равна (3; 3; 3).