Question

Найти производную y=ln arctg√1+x^2

Answer 1

Ответ:

$y=ln\;arctg\sqrt{1+x^2}\\\\y'=\frac{1}{arctg\sqrt{1+x^2}} *(arctg\sqrt{1+x^2})'=\frac{1}{arctg\sqrt{1+x^2}}*\frac{1}{1+1+x^2}*(\sqrt{1+x^2})'=\frac{1}{arctg\sqrt{1+x^2}} *\frac{1}{2+x^2}*\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2} }*(1+x^2)'=\frac{1}{arctg\sqrt{1+x^2}} *\frac{1}{2+x^2}*\frac{1}{2\sqrt{1+x^2} }*2x=\frac{x}{arctg\sqrt{1+x^2}*(2+x^2)*\sqrt{1+x^2} }$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \ln(\arctan(\sqrt{1+x^2}))$, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правило). Давайте выполним этот шаг пошагово:

1. Начнем с внутренней функции: $\arctan(\sqrt{1+x^2})$. Обозначим эту функцию как $u(x)$.

2. Найдем производную внутренней функции $u(x)$ по переменной $x$:

   $u(x) = \arctan(\sqrt{1+x^2})$

   $u'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{1+x^2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2})$

   Теперь найдем производную $\sqrt{1+x^2}$ по переменной $x$:

   $\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

   Теперь подставим это значение обратно в $u'(x)$:

   $u'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{1+x^2})^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

3. Теперь у нас есть производная внутренней функции $u(x)$, давайте продолжим с внешней функцией $y = \ln(u(x))$.

   $y = \ln(u(x))$

   Используя правило цепной дифференциации, производная $y$ по $x$ будет:

   $y'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x)$

   Теперь подставим значение $u'(x)$ из шага 2:

   $y'(x) = \frac{1}{\arctan(\sqrt{1+x^2})} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Таким образом, производная функции $y = \ln(\arctan(\sqrt{1+x^2}))$ равна:

$y'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2} \cdot \arctan(\sqrt{1+x^2})}$