Question

Используя определение производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции ​

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{9 \sqrt[3]{x + 1} }$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти производную функции, используя определение производной. Определение производной функции f(x) в точке x_0 выглядит следующим образом:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h

Это определение говорит нам, что производная функции в точке x_0 представляет собой предел отношения изменения функции (f(x_0 + h) - f(x_0)) к изменению аргумента (h), при условии, что h стремится к нулю.

Давайте рассмотрим конкретную функцию и найдем ее производную, используя это определение. Допустим, у нас есть функция f(x) = x^2. Мы хотим найти производную этой функции в точке x_0. Применим определение:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h

Для нашей функции:

f(x) = x^2

Теперь подставим это в определение и вычислим производную:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [(x_0 + h)^2 - x_0^2] / h

Раскроем квадрат в числителе:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [x_0^2 + 2x_0h + h^2 - x_0^2] / h

Сократим x_0^2 и -x_0^2:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [2x_0h + h^2] / h

Теперь разделим каждый член числителя на h:

f'(x_0) = lim (h -> 0) [2x_0 + h]

Когда h стремится к нулю, последний член h также стремится к нулю, и остается только 2x_0:

f'(x_0) = 2x_0

Итак, производная функции f(x) = x^2 равна 2x. Это значение является производной функции в любой точке x_0.