Question

Решите дифференциальные уравненияY’=-2y+7Y’=-6y+3Y’=-5y+2

Answer 1

Ответ:

y= 54-56-78-65-15= -67

Answer 2

У вас есть три дифференциальных уравнения первого порядка. Давайте решим их по очереди.

1. Y' = -2y + 7 Для решения этого уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

dy/dx = -2y + 7

dy/(-2y + 7) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/(-2y + 7)) dy = ∫dx

Для удобства заменим -2y + 7 на u:

∫(1/u) dy = ∫dx

ln|u| = x + C1, где C1 - произвольная постоянная интеграции.

Теперь вернемся к переменной u:

ln|(-2y + 7)| = x + C1

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|-2y + 7| = e^(x + C1)

Обратите внимание, что e^(C1) - это также константа, давайте обозначим её как K:

|-2y + 7| = Ke^x

Теперь учтем два случая для абсолютных значений:

1. -2y + 7 = Ke^x
2. 2y - 7 = Ke^x

Рассмотрим первый случай:

-2y + 7 = Ke^x

Теперь выразим y:

-2y = Ke^x - 7

y = (7 - Ke^x) / 2

Аналогично рассмотрим второй случай:

2y - 7 = Ke^x

2y = Ke^x + 7

y = (Ke^x + 7) / 2

Это общие решения для уравнения Y' = -2y + 7.

2. Y' = -6y + 3 Процедура решения аналогична предыдущей. Разделим переменные и проинтегрируем:

dy/dx = -6y + 3

dy/(-6y + 3) = dx

∫(1/(-6y + 3)) dy = ∫dx

Интегрируем:

∫(1/(-6y + 3)) dy = ∫dx

Теперь решим уравнение:

ln|(-6y + 3)| = x + C2

Где C2 - произвольная постоянная интеграции.

Теперь выразим y:

-6y + 3 = e^(x + C2)

-6y = e^(x + C2) - 3

y = (3 - e^(x + C2)) / 6

Заметьте, что e^(C2) - это также константа, обозначим её как K2:

y = (3 - Ke^x) / 6

Это общее решение для уравнения Y' = -6y + 3.

3. Y' = -5y + 2 Процедура решения также аналогична предыдущим уравнениям:

dy/dx = -5y + 2

dy/(-5y + 2) = dx

∫(1/(-5y + 2)) dy = ∫dx

Интегрируем:

∫(1/(-5y + 2)) dy = ∫dx

Теперь решим уравнение:

ln|(-5y + 2)| = x + C3

Где C3 - произвольная постоянная интеграции.

Теперь выразим y:

-5y + 2 = e^(x + C3)

-5y = e^(x + C3) - 2

y = (2 - e^(x + C3)) / 5

Аналогично, e^(C3) - это константа, обозначим её как K3:

y = (2 - K3e^x) / 5

Это общее решение для уравнения Y' = -5y + 2.

Теперь у вас есть общие решения для всех трех дифференциальных уравнений.