Question

50 баллов Найти производные третьего порядка указанных функций f(x)=x^2 ln⁡(4x) f(x)=e^x (4sin⁡ x+8 cos ⁡x )

Answer 1

$1)\ \ y=x^2\cdot ln4x\\\\y'=2x\cdot ln4x+x^2\cdot \dfrac{4}{4x}=2x\cdot ln4x+x=x\cdot (2\, ln4x+1)\\\\y''=2\, ln4x+1+x\cdot \dfrac{2\cdot 4}{4x}=2\, ln4x+1+2=2\, ln4x+3\\\\y'''=2\cdot \dfrac{4}{4x}=\dfrac{2}{x}$

$2)\ \ y=e^{x}\cdot (4sinx+8\, cosx)\\\\y'=e^{x}\cdot (4sinx+8\, cosx)+e^{x}\cdot (4cosx-8\, sinx)=4e^{x}\cdot (3\, cosx-sinx)\\\\y''=4e^x}\cdot (3\, cosx-sinx)+4e^{x}\cdot (-3\, sinx-cosx)=8e^{x}\cdot (cosx-2sinx)\\\\y'''=8e^{x}\cdot (cosx-2sinx)+8e^{x}\cdot (-sinx-2cosx)=8e^{x}\cdot (-cosx-3sinx)$

Answer 2

Для нахождения производных третьего порядка данных функций, нам нужно будет последовательно находить производные первого, второго и третьего порядка. Давайте начнем с первой функции:

1. Функция f(x) = x^2 * ln(4x)

Первая производная: f'(x) = (x^2)' * ln(4x) + x^2 * (ln(4x))'

Используем правило производной произведения и правило дифференцирования логарифма:

f'(x) = (2x * ln(4x)) + x^2 * (1/x)

Упростим:

f'(x) = 2x * ln(4x) + x

Вторая производная: f''(x) = (2x * ln(4x) + x)' = (2x * ln(4x))' + x'

Используем правило производной произведения:

f''(x) = (2x)' * ln(4x) + 2x * (ln(4x))' + 1

Вычислим производные:

f''(x) = 2 * ln(4x) + 2x * (1/x) + 1

Упростим:

f''(x) = 2 * ln(4x) + 2 + 1 = 2 * ln(4x) + 3

Третья производная: f'''(x) = (2 * ln(4x) + 3)'

Используем правило дифференцирования логарифма:

f'''(x) = 2 * (ln(4x))'

f'''(x) = 2 * (1/x) = 2/x

Теперь перейдем ко второй функции:

2. Функция f(x) = e^x * (4sin(x) + 8cos(x))

Первая производная: f'(x) = (e^x * (4sin(x) + 8cos(x)))'

Используем правило производной произведения:

f'(x) = (e^x)' * (4sin(x) + 8cos(x)) + e^x * ((4sin(x) + 8cos(x))')

Вычислим производные:

(e^x)' = e^x (4sin(x) + 8cos(x))' = 4cos(x) - 8sin(x)

Теперь подставим все вместе:

f'(x) = e^x * (4cos(x) - 8sin(x)) + e^x * (4sin(x) + 8cos(x))

f'(x) = e^x * (4cos(x) - 8sin(x) + 4sin(x) + 8cos(x))

Упростим:

f'(x) = e^x * (12cos(x) - 4sin(x))

Вторая производная: f''(x) = (e^x * (12cos(x) - 4sin(x)))'

Используем правило производной произведения:

f''(x) = (e^x)' * (12cos(x) - 4sin(x)) + e^x * ((12cos(x) - 4sin(x))')

Вычислим производные:

(e^x)' = e^x (12cos(x) - 4sin(x))' = -12sin(x) - 4cos(x)

Теперь подставим все вместе:

f''(x) = e^x * (-12sin(x) - 4cos(x)) + e^x * (-12sin(x) - 4cos(x))

f''(x) = e^x * (-24sin(x) - 8cos(x))

Третья производная: f'''(x) = (e^x * (-24sin(x) - 8cos(x)))'

Используем правило производной произведения:

f'''(x) = (e^x)' * (-24sin(x) - 8cos(x)) + e^x * ((-24sin(x) - 8cos(x))')

Вычислим производные:

(e^x)' = e^x (-24sin(x) - 8cos(x))' = -24cos(x) + 8sin(x)

Теперь подставим все вместе:

f'''(x) = e^x * (-24cos(x) + 8sin(x)) + e^x * (-24cos(x) + 8sin(x))

f'''(x) = e^x * (-48cos(x) + 16sin(x))

Итак, мы нашли производные третьего порядка для данных функций:

1. Для f(x) = x^2 * ln(4x): f'''(x) = 2/x

2. Для f(x) = e^x * (4sin(x) + 8cos(x)): f'''(x) = e^x * (-48cos(x) + 16sin(x))