Question

Выполнить полное исследование функции и построить ее график lnx/x^2​

Answer 1

Ответ:

===================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для выполнения полного исследования функции $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$, мы будем выполнять следующие шаги:

1. Определение области определения.
2. Вычисление производной функции.
3. Анализ поведения функции в точках экстремума и на бесконечностях.
4. Исследование на четность/нечетность.
5. Построение графика.

1. Область определения:

Функция $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ определена для положительных значений $x$ (т.е., $x > 0$), так как логарифм нуля или отрицательного числа не существует.

2. Производная функции:

Давайте вычислим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(x)}{x^2}\right)$

Используя правило производной частного и правило дифференцирования логарифма:

$f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) - \ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(x^{-2})$

$f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot (-2x^{-3})$

$f'(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{2\ln(x)}{x^3}$

3. Анализ поведения функции:

a. Нули производной:

Для нахождения точек экстремума, найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

$\frac{1}{x^3} + \frac{2\ln(x)}{x^3} = 0$

$\frac{1 + 2\ln(x)}{x^3} = 0$

$1 + 2\ln(x) = 0$

$2\ln(x) = -1$

$\ln(x) = -\frac{1}{2}$

$x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

Таким образом, точка экстремума $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

b. Знак производной:

Для анализа знака производной, разобьем интервалы на числовой оси, используя точку экстремума и границы области определения:

• Если $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$, то $x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ и $\ln(x) < 0$, следовательно, $f'(x) > 0$ (по обоим слагаемым).
• Если $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$, то $f'(x) = 0$.
• Если $\frac{1}{\sqrt{e}} < x$