Question

Знайти множину розв'язків нерівності: 4^x-6*2^x+8<0​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

преобразование, замена, пересечение вот t²-6t+8=0 решите и там корни 2 и 4 потом подставьте на замену

Answer 2

Щоб знайти множину розв'язків нерівності $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 < 0$, скористаємося заміною.

Позначимо $y = 2^x$, тоді нерівність набуває вигляду:

$y^2 - 6y + 8 < 0$

Факторизуємо ліву частину:

$(y - 4)(y - 2) < 0$

Розв'яжемо рівняння $y - 4 = 0$ та $y - 2 = 0$, щоб знайти критичні точки:

$y_1 = 4, \quad y_2 = 2$

Тепер розглянемо чотири можливі інтервали:

1. $y < 2$
2. $2 < y < 4$
3. $y > 4$

В кожному інтервалі будемо аналізувати знак виразу $(y - 4)(y - 2)$:

1. При $y < 2$, обидва доданки $(y - 4)$ і $(y - 2)$ від'ємні, отже, добуток буде додатнім.
2. При $2 < y < 4$, перший доданок $(y - 4)$ від'ємний, а другий доданок $(y - 2)$ - додатній. Отже, добуток буде від'ємним.
3. При $y > 4$, обидва доданки $(y - 4)$ і $(y - 2)$ додатні, отже, добуток буде додатнім.

Отже, нерівність $y^2 - 6y + 8 < 0$ виконується на інтервалі $2 < y < 4$.

Пам'ятаємо, що $y = 2^x$, тому отримуємо:

$2^x \in (2, 4)$

Далі, потрібно розв'язати нерівність $2 < 2^x < 4$ для $x$. Ця нерівність еквівалентна:

$1 < x < 2$

Отже, множина розв'язків нерівності $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 < 0$ є відкритий інтервал $1 < x < 2$.