Question

Как найти интервал убывания функции y=4x^3-3x^2

Answer 1

Построим график уравнения, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.

$vozrastaet \\ ( - \infty .0).( \frac{1}{2} . \infty )$

$ubyvaet \\ (0. \frac{1}{2} )$

Answer 2

Пошаговое объяснение:

Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = - х^3 + 3х^2 + 4 с помощью производной.

1) Найдем производную функции:

у' = (- х^3 + 3х^2 + 4)' = - 3х^2 + 6х.

2) Приравняем производную функции к нулю и найдем точки экстремума:

- 3х^2 + 6х = 0 - вынесем за скобку общий множитель (- 3х);

- 3х(х - 2) = 0 - произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю;

- 3х = 0;

х1 = 0;

х - 2 = 0;

х2 = 2.

3) Отметим на числовой прямой числа 0 и 2. Эти числа делят числовую прямую на три интервала: 1) (- ∞; 0), 2) (0; 2), 3) (2; + ∞).

4) Проверим знак производной в каждом интервале.

Число (- 1) принадлежит 1 промежутку. - 3 * (- 1) * (- 1 - 2) = - 9 < 0. Если производная функции отрицательная, то сама функция является убывающей на данном промежутке.

Число 1 принадлежит 2 промежутку. - 3 * 1 * (1 - 2) = 3 > 0. Если производная функции положительная, то сама функция является возрастающей на данном промежутке.

Число 3 принадлежит 3 промежутку. - 3 * 3 * ( 3 - 2) = - 9 < 0, значит функция на этом промежутке является убывающей.

Ответ. Функция убывает на (- ∞; 0) и на (2; + ∞); функция возрастает на (0; 2).

Answer 3

Для нахождения интервала убывания функции $y = 4x^3 - 3x^2$, вы можете выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$. Производная будет представлять собой уравнение, которое описывает скорость изменения функции $y$.

   $y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 3x^2)$

2. Решите уравнение $y' = 0$, чтобы найти критические точки функции. Эти точки будут местами, где производная равна нулю или не существует.

3. Проведите исследование знаков производной в интервалах между критическими точками и вне их. Для этого можно выбрать тестовые точки в каждом интервале и определить знак производной в этих точках.

4. Если производная $y'$ отрицательна в каком-либо интервале, то функция $y$ убывает на этом интервале.

Давайте выполним эти шаги по очереди.

1. Найдем производную $y'$:

   $y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 3x^2)$

   Используя правила дифференцирования степеней и констант, получим:

   $y' = 12x^2 - 6x$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

   $12x^2 - 6x = 0$

   Вынесем общий множитель:

   $6x(2x - 1) = 0$

   Решим каждый множитель:

   • $6x = 0$ дает $x = 0$.
   • $2x - 1 = 0$ дает $x = \frac{1}{2}$.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 0$ и $x = \frac{1}{2}$.

3. Теперь проведем исследование знаков производной в интервалах между критическими точками и вне их:

   • Если $x < 0$, то $12x^2 - 6x$ положительно (квадратное слагаемое больше), следовательно, $y'$ положительно, и функция $y$ возрастает на этом интервале.
   • Если $0 < x < \frac{1}{2}$, то $12x^2 - 6x$ отрицательно (линейное слагаемое больше), следовательно, $y'$ отрицательно, и функция $y$ убывает на этом интервале.
   • Если $x > \frac{1}{2}$, то $12x^2 - 6x$ снова положительно, и функция $y$ снова возрастает на этом интервале.

Итак, интервал убывания функции $y = 4x^3 - 3x^2$ - это $0 < x < \frac{1}{2}$.