Question

Решите неравенство sin⁡ x/2 cos⁡ x/2 >1/2

Answer 1

Ответ: Нет корней, принадлежащих множеству рациональных чисел

Пошаговое объяснение:

Sin(x/2)*cos(x/2)=0,5*sin(2*(x/2))=0,5sinx

0,5sin(x)>0,5

sin(x)>1 - нет корней, т.к. по определению -1≤sin(x) ≤1.

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться знанием о значениях синуса и косинуса на интервале [0, 2π] и их свойствах. Для начала, мы можем умножить обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

sin(x/2)cos(x/2) > 1

Теперь давайте рассмотрим возможные значения синуса и косинуса на интервале [0, 2π]:

1. sin(x/2) > 0 и cos(x/2) > 0
2. sin(x/2) < 0 и cos(x/2) < 0
3. sin(x/2) > 0 и cos(x/2) < 0
4. sin(x/2) < 0 и cos(x/2) > 0

Для каждого из этих случаев мы можем рассмотреть неравенство и найти соответствующий интервал значений x.

1. sin(x/2) > 0 и cos(x/2) > 0: В этом случае неравенство остается без изменений: sin(x/2)cos(x/2) > 1

2. sin(x/2) < 0 и cos(x/2) < 0: Если обе функции отрицательны, то мы можем поменять знак неравенства и инвертировать обе стороны: -sin(x/2)cos(x/2) < -1

3. sin(x/2) > 0 и cos(x/2) < 0: В этом случае, произведение sin(x/2)cos(x/2) будет отрицательным. Таким образом: sin(x/2)cos(x/2) < 0

4. sin(x/2) < 0 и cos(x/2) > 0: В этом случае, произведение sin(x/2)cos(x/2) также будет отрицательным: sin(x/2)cos(x/2) < 0

Теперь мы можем рассмотреть каждый из этих случаев и найти интервалы, в которых неравенство выполняется:

1. sin(x/2)cos(x/2) > 1: Это неравенство не имеет решений на интервале [0, 2π], так как произведение sin(x/2)cos(x/2) не может быть больше 1.

2. -sin(x/2)cos(x/2) < -1: Это неравенство также не имеет решений на интервале [0, 2π], так как произведение sin(x/2)cos(x/2) не может быть меньше -1.

3. sin(x/2)cos(x/2) < 0: В этом случае, неравенство выполняется в двух интервалах: