Question

Решите пожалуйста экстремум z=x^2+xy+y^2-2x-3y Срочно!

Answer 1

Ответ:

$z = {x}^{2} + xy + {y}^{2} - 2x + 3y$

$\frac{dz}{dx} = 2x + y - 2$

$\frac{dz}{dy} = x + 2y + 3$

система:

$2x + y - 2 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \\ \\ y = 2 - 2x \\ x + 4 - 4x + 3 = \\ \\ - 3x + 1 = \\ x = \frac{1}{3} \\ \\ y = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ:

(1/3;4/3) - точка экстремума

Answer 2

Для нахождения экстремума функции $z = x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y$ сначала найдем ее частные производные по переменным $x$ и $y$ и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки:

1. По переменной $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y - 2 = 0$

2. По переменной $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y - 3 = 0$

Решим эту систему уравнений. Сначала найдем $x$ из первого уравнения:

$2x + y - 2 = 0$ $2x + y = 2$ $x = 1 - \frac{y}{2}$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$x + 2y - 3 = 0$ $\left(1 - \frac{y}{2}\right) + 2y - 3 = 0$

Упростим уравнение:

$1 - \frac{y}{2} + 2y - 3 = 0$ $\frac{3y}{2} - 2 = 0$ $3y - 4 = 0$ $3y = 4$ $y = \frac{4}{3}$

Теперь, когда мы знаем $y$, мы можем найти $x$:

$x = 1 - \frac{y}{2} = 1 - \frac{4}{6} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Теперь у нас есть критическая точка $(x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$.

Чтобы определить, является ли эта точка минимумом, максимумом или седловой точкой, мы можем использовать вторые частные производные и критерий Сильвестра. Однако, для этого нам также потребуется найти вторые частные производные функции $z$ по $x$ и $y$. В этом ответе ограничусь нахождением критической точки.