Question

Докажи, что число 2n – 5n +9 кратно 3 при любом натуральном п.​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы доказать, что число $2n - 5n + 9$ кратно 3 при любом натуральном $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Математическая индукция позволяет доказать утверждение для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового значения, обычно $n = 1$, и предполагая, что оно верно для некоторого произвольного $k$, мы доказываем, что оно также верно для $k + 1$.

1. Базовый случай: Проверим, верно ли утверждение для $n = 1$:

   $2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 9 = 2 - 5 + 9 = 6$.

   6 является кратным 3, так как $6 = 3 \cdot 2$.

   Таким образом, базовый случай верен.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$. То есть, предположим, что:

   $$$$

3. Индукционный шаг: Мы должны доказать, что утверждение также верно для $k + 1$. Для этого рассмотрим выражение при $n = k + 1$:

   $2(k + 1) - 5(k + 1) + 9 = 2k + 2 - 5k - 5 + 9 = (2k - 5k) + (2 - 5 + 9) = -3k + 6.$

   Мы видим, что $3$ можно вынести за скобку:

   $3(-k + 2).$

   Теперь мы видим, что это выражение является произведением $3$ и некоторого целого числа $-k + 2$. Поскольку $-k + 2$ также является целым числом (поскольку $k$ - натуральное число), то $3$ умножается на целое число и, следовательно, $3(-k + 2)$ кратно $3$.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для некоторого натурального $k$, то оно также верно для $k + 1$. Поскольку оно верно для $n = 1$ (базовый случай), то оно верно для всех натуральных $n$ по принципу математической индукции.

Следовательно, $2n - 5n + 9$ кратно $3$ при любом натуральном $n$.