Question

Вычислите: a) lim x^2+3/ x+1= x➡1 b) lim x^2+3x+2 / x+1 = x➡-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а)

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+3}{x+1} = \lim_{x \to 1} \frac{1^2+3}{1+1} = 2$

b)

$\displaystyle \lim_{x \to {-1}} \frac{x^2+3}{x+1}$

здесь двустороннего предела не существует.

ищем предел слева и справа

предел слева

$\displaystyle \lim_{x \to {-1^-}} \frac{x^2+3}{x+1}= \lim_{x \to {-1^-}} \frac{1}{x+1}* \lim_{x \to {-1^-}} (x^2+3)=\lim_{x \to {-1^-}} \frac{1}{x+1}*4$

поскольку  $\displaystyle \lim_{x \to {-1^-}}(x+1) = 0$  и (х +1) < 0 для всех х < -1, то $\displaystyle \lim_{x \to {-1^-}} \frac{1}{x+1} = - \infty$

итак, предел слева

$\displaystyle \lim_{x \to {-1^-}} \frac{x^2+3}{x+1}= 4*-\infty=- \infty$

предел справа ищем аналогично, только поскольку $\displaystyle \lim_{x \to {-1^+}}(x+1) = 0$

и (х +1) > 0 для всех х > -1, то      $\displaystyle \lim_{x \to {-1^+}} \frac{1}{x+1} = + \infty$

и предел справа

$\displaystyle \lim_{x \to {-1^+}} \frac{x^2+3}{x+1}= + \infty$

Answer 2

a) Для вычисления предела lim (x^2 + 3) / (x + 1) при x -> 1, мы можем применить правило Лопиталя. Сначала найдем производные числителя и знаменателя:

f(x) = x^2 + 3 g(x) = x + 1

f'(x) = 2x g'(x) = 1

Теперь вычислим предел производных:

lim (x -> 1) f'(x) = lim (x -> 1) 2x = 2 * 1 = 2 lim (x -> 1) g'(x) = lim (x -> 1) 1 = 1

Затем вычислим предел отношения производных:

lim (x -> 1) [f'(x) / g'(x)] = lim (x -> 1) (2 / 1) = 2

Таким образом, lim (x^2 + 3) / (x + 1) при x -> 1 равен 2.

b) Для вычисления предела lim (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) при x -> -1, мы также можем применить правило Лопиталя. Сначала найдем производные числителя и знаменателя:

f(x) = x^2 + 3x + 2 g(x) = x + 1

f'(x) = 2x + 3 g'(x) = 1

Теперь вычислим предел производных:

lim (x -> -1) f'(x) = lim (x -> -1) (2x + 3) = 2 * (-1) + 3 = 1 lim (x -> -1) g'(x) = lim (x -> -1) 1 = 1

Затем вычислим предел отношения производных:

lim (x -> -1) [f'(x) / g'(x)] = lim (x -> -1) (1 / 1) = 1

Таким образом, lim (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) при x -> -1 равен 1.