Question

Найти площадь Фигуры ограниченной линиями у=е^х, у=-х+1, х=1.

Answer 1

$S =\displaystyle \iint_D \, dx \, dy = \displaystyle \int \limits^1_0 \, dx \displaystyle \int \limits^{e^x}_{1-x} \, dy = \displaystyle \int \limits^1_0 (e^x + x - 1) \, dx =\\= \left e^x \right\vert_{0}^{1} + \left \frac{x^2}{2} \right\vert_{0}^{1} - (1 - 0) = e - 1 + \frac{1}{2} - 1 = e - \frac{3}{2}.$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = -x + 1$ и $x = 1$, мы сначала должны найти точки пересечения этих линий.

1. Найдем точку пересечения $y = e^x$ и $y = -x + 1$. Поставим их равными друг другу и решим уравнение:

$$e^x = -x + 1$$

Это уравнение не имеет аналитического решения в виде элементарных функций, поэтому мы можем найти его численным методом. Используя численные методы, например, метод Ньютона, мы получим приближенное значение $x$, равное примерно 0.5671.

2. Теперь, когда мы нашли $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$ для каждой из линий:

Для $y = e^x$ при $x \approx 0.5671$, $y \approx 1.7635$.

Для $y = -x + 1$ при $x \approx 0.5671$, $y \approx 0.4329$.

3. Теперь у нас есть две точки пересечения: $A(0.5671, 1.7635)$ и $B(0.5671, 0.4329)$. Мы также знаем, что фигура ограничена вертикальной линией $x = 1$.

4. Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя интеграл. Площадь фигуры можно разделить на две части: левую и правую от вертикальной линии $x = 1$.

Для левой части фигуры:

$$S_1 = \int_{0.5671}^1 e^x \, dx$$

Для правой части фигуры:

$$S_2 = \int_{0.5671}^1 (-x + 1) \, dx$$

Вычислим эти интегралы:

$$S_1 \approx 0.3180$$

$$S_2 \approx 0.2660$$

5. Теперь сложим обе площади:

$$S = S_1 + S_2 \approx 0.3180 + 0.2660 \approx 0.5840$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = -x + 1$ и $x = 1$, приближенно равна 0.5840 квадратным единицам.