Question

Даны точки А(1;2;3), В(-1;3;5), С(2;0;4), D(3;-1;2). Найти: - общее уравнение плоскости; - расстояние от точки D до плоскости АВС; - площадь треугольника АВС; - объём пирамиды DАВС; - уравнение прямой АВ; - уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ. Буду очень рад, если увижу ответ. Заранее спасибо :)

Answer 1

По технологии расчётов порядок вопросов не совпадает с порядком ответов.

1) Для получения уравнения плоскости нужно найти СМЕШАННОЕ произведение векторов.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA          z - zA

xB - xA      yB - yA        zB - zA

xC - xA      yC - yA        zC – zA  = 0

Подставим данные А(1;2;3), В(-1;3;5), С(2;0;4), D(3;-1;2) и упростим выражение:

x - 1             y - 2           z - 3

-1 - 1         3 - 2          5 - 3

2 - 1             0 - 2          4 - 3   = 0

x - 1             y - 2           z - 3

-2                  1                2

1                 -2                1      = 0

(x – 1)(1·1-2·(-2)) – (y – 2)((-2)·1-2·1) + (z – 3)((-2)·(-2)-1·1) = 0

5(x – 1) + 4(y – 2) + 3(z – 3) = 0

5x + 4y + 3z - 22 = 0.

3) Площадь треугольника АВС определим по формуле S = (1/2)|ABxAC|.

Коэффициенты векторного произведения примем из пункта 1.

S = (1/2)√(52 + 42 + 32) = (1/2) √(25 + 16 + 9) = (1/2)√50 = 5√2/2 = 3,535534.

4)  Находим вектор AD = D(3;-1;2) - А(1;2;3) = (2; -3, -1).

Объём равен 1/6 смешанного произведения(AB*AC)xAD.

Используем найденное значение AB*AC = (5; 4; 3).

                 x       y       z  

AB x AC = 5       4       3  

       AD = 2      -3      -1  

Произведение: 10    -12       -3 = -5 . Используем модуль:

V = (1/6) * 5 = (5/6) куб.ед.

2) Для определения расстояния Н от точки D до плоскости АВС используем формулу объёма пирамиды: V = (1/3)SoH,  

отсюда H = 3V/So = 3*(5/6)/(5√2/2) = √2/2 = 0,7071.

5) Для уравнения прямой АВ используем найденное значение вектора АВ(-1; 2; 1).

АВ: (x - 1)/(-1) = (y – 2)/2 = (z – 3)/1.

6) В уравнении прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ, направляющий вектор сохраняется такой же, как и у прямой АВ.

Подставляем к переменным координаты точки D(3;-1;2).

DE: (x - 3)/(-1) = (y + 1)/2 = (z – 2)/1.

Answer 2

Для решения данной задачи сначала найдем общее уравнение плоскости, а затем будем использовать его для вычисления расстояния от точки D до плоскости АВС. Затем найдем площадь треугольника АВС и объем пирамиды DАВС. Наконец, найдем уравнение прямой АВ и уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ.

1. Общее уравнение плоскости: Для того чтобы найти общее уравнение плоскости, нам понадобятся точки A, B и C. Давайте выберем два вектора в этой плоскости, например, AB и AC, и найдем их векторное произведение, которое будет нормалью к плоскости:

AB = B - A = (-1 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-2, 1, 2) AC = C - A = (2 - 1, 0 - 2, 4 - 3) = (1, -2, 1)

Теперь найдем векторное произведение: n (нормаль) = AB x AC = i(-2) - j(1) + k(1) = -2i - j + k

Теперь мы имеем нормаль к плоскости, и мы можем использовать точку A для получения общего уравнения плоскости:

Уравнение плоскости: -2x - y + z + D = 0

Чтобы найти D, подставим координаты точки A (1, 2, 3) в уравнение:

-2(1) - (2) + (3) + D = 0 -2 - 2 + 3 + D = 0 -1 + D = 0 D = 1

Таким образом, общее уравнение плоскости: -2x - y + z + 1 = 0.

2. Расстояние от точки D до плоскости АВС: Для нахождения расстояния d от точки D до плоскости АВС, используем формулу:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, а (x, y, z) - координаты точки D.

В нашем случае, A = -2, B = -1, C = 1, D = 1, x = 3, y = -1, z = 2:

d = |-2(3) - (-1)(-1) + 1(2) + 1| / √((-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2) d = |-6 + 1 + 2 + 1| / √(4 + 1 + 1) d = | -2 | / √6 d = 2 / √6

3. Площадь треугольника АВС: Для нахождения площади треугольника АВС можно использовать формулу Герона, зная длины сторон треугольника.

Сначала найдем длины сторон AB, BC и CA:

AB = √((-1 - 1)^2 + (3 - 2)^2 + (5 - 3)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3 BC = √((2 - (-1))^2 + (0 - 3)^2 + (4 - 5)^2) = √(9 + 9 + 1) = √19 CA = √((2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (4 - 3)^2) = √(1 + 4 + 1) = √6

Теперь можно найти полупериметр треугольника (s):

s = (AB + BC + CA) / 2 = (3 + √19 + √6) / 2

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Площадь = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)]

Подставляем значения:

Площадь = √[(s * (s - 3) * (s - √19) * (s - √6))]

4. Объем пирамиды DАВС: Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

Объем = (1/3) * S_ABC * h,

где S_ABC - площадь треугольника АВС, а h - расстояние от точки D до плоскости АВС, которое мы уже вычислили.

Объем = (1/3) * Площадь * (2 / √6)

5. Уравнение прямой АВ: Уравнение прямой в трехмерном пространстве можно записать в параметрической форме:

x = x_0 + at y = y_0 + bt z = z_0 + ct

Где (x_0, y_0, z_0) - координаты начальной точки прямой, (a, b, c) - направляющие коэффициенты, t - параметр.

Используя точки A и B, можно записать уравнение прямой АВ:

x = 1 + t(-1 - 1) = 1 - 2t y = 2 + t(3 - 2) = 2 + t z = 3 + t(5 - 3) = 3 + 2t

6. Уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ: Так как прямая, проходящая через точку D и параллельно прямой АВ, будет иметь те же направляющие коэффициенты (a, b, c), мы можем использовать уравнение прямой АВ и подставить координаты точки D:

x = 1 - 2t y = 2 + t z = 3 + 2t

Это уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельно прямой АВ.

Итак, мы рассмотрели все шесть частей задачи. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужно уточнение по какому-либо из пунктов, пожалуйста, дайте знать!