Question

Найти производную функции 1)y=5(x+2)^5 2)y=1/корень x + 1 3)y=(x^2+1)^3​

Answer 1

Ответ:

1.

$y = 5 {(x + 2)}^{5}$

$y '= 5 \times 5 {(x + 2)}^{4} \times (x + 2)' = \\ = 25 {(x + 2)}^{ 4} \times 1 = 25 {(x + 2)}^{4}$

2.

$y = \frac{1}{ \sqrt{x + 1} } = {(x + 1)}^{ - \frac{1}{2} }$

$y' = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{ - \frac{3}{2} } \times (x + 1)' = \\ = - \frac{1}{2 \sqrt{ {(x + 1)}^{3} } }$

3.

$y = {( {x}^{2} + 1) }^{3}$

$y '= 3 {( {x}^{2} + 1) }^{2} \times ( {x}^{2} + 1)' = \\ = 3 {( {x}^{2} + 1) }^{2} \times 2x = 6x {( {x}^{2} + 1)}^{2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции по переменной $x$ мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило дифференцирования функции вида $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$, где $u(x)$ - это функция внутри степенной функции.

1. $y = 5(x+2)^5$

Дифференцируем по переменной $x$:

$$\begin{align*} y' &= 5 \cdot \frac{d}{dx} (x+2)^5 \\ &= 5 \cdot 5 \cdot (x+2)^{5-1} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) \\ &= 25 \cdot (x+2)^4 \end{align*}$$

2. $y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Дифференцируем по переменной $x$:

Сначала выразим функцию в виде положительной степени:

$y = (x + 1)^{-\frac{1}{2}}$

Теперь используем правило дифференцирования степенной функции:

$$\begin{align*} y' &= -\frac{1}{2} \cdot (x + 1)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) \\ &= -\frac{1}{2} \cdot (x + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 1 \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{(x+1)}} \end{align*}$$

3. $y = (x^2+1)^3$

Дифференцируем по переменной $x$:

$$\begin{align*} y' &= 3 \cdot (x^2+1)^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) \\ &= 3 \cdot (x^2+1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \\ &= 3 \cdot (x^2+1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x \cdot (x^2+1)^2 \end{align*}$$

Таким образом, мы нашли производные для данных функций:

1. $y' = 25(x+2)^4$

2. $y' = -\frac{1}{2\sqrt{(x+1)}}$

3. $y' = 6x \cdot (x^2+1)^2$