Question

Найти площадь фигуры ограниченной графиками функций y=6x+x^2 и y=6+x

Answer 1

Ответ:57,17

Пошаговое объяснение:

Строим график определяем пределы интегрирования нижний -6 верхний 1 (видно на графике). Посчитаем аналитически точки пересечения они же пределы интегрирования:

6x+x^2=6+х

х^2+5х-6=0

D=5^2 -4*1*(-6)=25+24=49

x1=(-5+√49)/2*1=(-5+7)/2=2/2=1

x2=(-5-√49)/2*1=(-5-7)/2=-12/2=-6

Так как парабола расположена ниже прямой, подъинтегральное выражение из пямой вычитаем параболу:

6+х-(6x+x^2)=6+х-6х-x^2=6-5х-x^2

внизу -6∫ верхний 1(6-5х-x^2)dx= -x^3/3-5*x^2/2+6x)внизу -6|верхний 1=-1/3-(1/3*(-6)^3) -5*1/2-(-5/2*(-6)^2)+6*1-6*(-6)=-72,33-2,5+90+42=57,17

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6x + x^2 и y = 6 + x, мы должны сначала найти точки их пересечения, затем определить интервал, на котором они пересекаются, и, наконец, вычислить определенный интеграл этой области от x1 до x2, где x1 и x2 - это x-координаты точек пересечения.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Приравняйте выражения для y и решите уравнение:

   6x + x^2 = 6 + x

2. Перенесите все члены на одну сторону уравнения:

   x^2 - x - 6 = 0

3. Решите это квадратное уравнение:

   (x - 3)(x + 2) = 0

   Таким образом, x может быть равен 3 или -2.

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем найти интервал, на котором они пересекаются:

-2 <= x <= 3

Теперь давайте вычислим определенный интеграл этой области. Нам нужно найти интеграл следующей функции на интервале [-2, 3]:

∫[от -2 до 3] (6 + x - (6x + x^2)) dx

Раскроем скобки и упростим:

∫[от -2 до 3] (6 + x - 6x - x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[от -2 до 3] (6 + x - 6x - x^2) dx = [6x + (x^2/2) - 3x^2 - (x^3/3)] | от -2 до 3

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

[63 + (3^2/2) - 33^2 - (3^3/3)] - [6*(-2) + ((-2)^2/2) - 3*(-2)^2 - ((-2)^3/3)]

Вычислите значения в скобках:

[18 + 4.5 - 27 - 9] - [-12 + 2 - 12 + (8/3)]

Теперь вычислите разницу между этими значениями:

(18 + 4.5 - 27 - 9) - (-12 + 2 - 12 + 8/3) = 13.5 - (-14 + 8/3) = 13.5 + 14 - 8/3 ≈ 13.833

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6x + x^2 и y = 6 + x, составляет приблизительно 13.833 квадратных единицы.