Question

Вычислить интеграл. ∫x^3 * 5^(7x+6) dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части интегрируемой функции, которые мы выбираем. Давайте выберем:

u = x^3, dv = 5^(7x+6) dx.

Теперь вычислим их производные и дифференциалы:

du = 3x^2 dx, v = (1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫x^3 * 5^(7x+6) dx = (x^3) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - ∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * (3x^2) dx.

Давайте выразим интеграл справа:

∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * (3x^2) dx = (3/7ln(5)) * ∫(5^(7x+6) * x^2) dx.

Теперь у нас есть новый интеграл, который мы можем вычислить с помощью метода интегрирования по частям снова. Для этого выберем:

u = x^2, dv = 5^(7x+6) dx.

Теперь вычислим их производные и дифференциалы:

du = 2x dx, v = (1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫(5^(7x+6) * x^2) dx = (x^2) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - ∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * (2x) dx.

Давайте выразим интеграл справа:

∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * (2x) dx = (2/7ln(5)) * ∫(5^(7x+6) * x) dx.

Теперь у нас есть интеграл снова, который можно вычислить по частям. Выбираем:

u = x, dv = 5^(7x+6) dx.

И вычисляем их производные и дифференциалы:

du = dx, v = (1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫(5^(7x+6) * x) dx = (x) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - ∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * dx.

Теперь мы можем вычислить последний интеграл:

∫((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) * dx = (1/7ln(5)) * ∫(5^(7x+6)) dx.

Теперь это простой интеграл от показательной функции:

∫(5^(7x+6)) dx = (1/(7ln(5))) * (5^(7x+6) / 7ln(5)) + C,

где C - постоянная интеграции.

Теперь мы можем объединить все эти результаты и получить окончательный ответ:

∫x^3 * 5^(7x+6) dx = (x^3) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - (3/7ln(5)) * ((x^2) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - (2/7ln(5)) * ((x) * ((1/ln(5)) * (5^(7x+6) / 7)) - (1/7ln(5))) * ((5^(7x+6) / 7ln(5)) + C.

Это окончательный ответ, где C - постоянная интеграции.