Question

Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9; второй 0,7; третий 0,5; найти вероятность, что при аварии сработают А) три сигнализатора Б) один сигнализатор В) хотя бы один сигнализатор

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1. Так как сигнализатори работают независимо, то

Р{сработали все сигнализатори}=0.9×0.7×0.5=0.315

2.

Р{сработал один сигнализатор} =0.9×(1−0.7)×(1−0.5)+0.7×(1−0.9)×(1−0.5)+0.5(1−0.9)×(1−0.7)= 0.185

3.

Р{не сработал ниодин}=(1-0.9)×(1−0.7)×(1−0.5)=0.015

Тогда

Р{хотя бы один сигнализатор}=1-0.015=0.985

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся вероятностными свойствами независимых событий.

Пусть:

• $A$ - сработает первый сигнализатор,
• $B$ - сработает второй сигнализатор,
• $C$ - сработает третий сигнализатор.

У нас есть следующие вероятности: $P(A) = 0,9$ (вероятность сработки первого сигнализатора), $P(B) = 0,7$ (вероятность сработки второго сигнализатора), $P(C) = 0,5$ (вероятность сработки третьего сигнализатора).

Так как сигнализаторы работают независимо, вероятность события, что сработают все три сигнализатора ($A$ и $B$ и $C$), равна произведению вероятностей срабатывания каждого из них:

А) Вероятность, что при аварии сработают три сигнализатора ($P(A \cap B \cap C)$): $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C) = 0,9 \times 0,7 \times 0,5 = 0,315.$

Б) Вероятность, что при аварии сработает только один сигнализатор, можно рассмотреть три случая: сработает только первый, только второй или только третий сигнализатор. Используем формулу сложения вероятностей независимых событий:

$P(\text{один сигнализатор}) = P(A) \times (1 - P(B)) \times (1 - P(C)) + (1 - P(A)) \times P(B) \times (1 - P(C)) + (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) \times P(C).$

Б) Вероятность, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор ($P(A \cup B \cup C)$), можно рассмотреть случаи, когда сработает хотя бы один сигнализатор (это дополнение к тому, что ни один не сработает, то есть $1 - P(\text{ни один сигнализатор})$):

$P(A \cup B \cup C) = 1 - P(\text{ни один сигнализатор}) = 1 - (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) \times (1 - P(C)).$

Теперь подставим значения и посчитаем:

$P(\text{один сигнализатор}) = 0,9 \times (1 - 0,7) \times (1 - 0,5) + (1 - 0,9) \times 0,7 \times (1 - 0,5) + (1 - 0,9) \times (1 - 0,7) \times 0,5.$

$P(\text{один сигнализатор}) ≈ 0,9 \times 0,3 \times 0,5 + 0,1 \times 0,7 \times 0,5 + 0,1 \times 0,3 \times 0,5 ≈ 0,255.$

Теперь вычислим вероятность, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор:

$P(A \cup B \cup C) = 1 - (1 - 0,9) \times (1 - 0,7) \times (1 - 0,5) ≈ 1 - 0,1 \times 0,3 \times 0,5 ≈ 0,855.$

Итак: А) Вероятность, что при аварии сработают три сигнализатора: $P(A \cap B \cap C) ≈ 0,315$. Б) Вероятность, что при аварии сработает только один сигнализатор: $P(\text{один сигнализатор}) ≈ 0,255$. В) Вероятность, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор: $P(A \cup B \cup C) ≈ 0,855$.