Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; –1;2) и перпендикулярной плоскостям х–2у–z+5=0 и 3х–у+3z+3=0. Пожалуйста, решите. Очень срочно надо. Спасибо.

Answer 1

Нормаль к первой плоскости

N1 (1;-2;-1)

Ко второй

N2(3;-1;3)

Пусть уравнение искомой плоскости

аx+by+cz+d=0

Нормаль

N (a;b;c)

По условию перпендикулярности

а-2b-c=0

3a-b+3c=0

Умножим первое на 3 и сложим со вторым

6а -7b = 0

Пусть а=7 тогда b =6 и с = -5

Наша плоскость проходит через

М (3;-1;2)

3*7-6*1-2*5+d=0

Откуда d = -5

и искомое уравнение

7x + 6y - 5z - 5 = 0

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку M(3; -1; 2) и перпендикулярной данным плоскостям, мы можем использовать свойство перпендикулярности: вектор нормали к искомой плоскости будет перпендикулярен нормальным векторам данных плоскостей.

Для первой плоскости х–2у–z+5=0 нормальный вектор будет (1, -2, -1), так как коэффициенты перед x, y и z в уравнении являются координатами вектора нормали.

Для второй плоскости 3х–у+3z+3=0 нормальный вектор будет (3, -1, 3).

Теперь мы можем найти вектор, перпендикулярный обоим этим векторам, который будет нормальным вектором искомой плоскости. Это можно сделать, взяв векторное произведение двух данных векторов:

Нормальный вектор искомой плоскости, N, будет равен:

N = (1, -2, -1) x (3, -1, 3)

Чтобы найти векторное произведение, можно использовать следующее правило:

N_x = (1 * 3) - (-2 * -1) = 3 - 2 = 1 N_y = (1 * -1) - (-2 * 3) = -1 + 6 = 5 N_z = (1 * 3) - (-2 * -1) = 3 - 2 = 1

Таким образом, нормальный вектор N для искомой плоскости равен (1, 5, 1).

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор и точка M(3; -1; 2), мы можем записать уравнение плоскости в следующем виде:

1*(x - 3) + 5*(y + 1) + 1*(z - 2) = 0

Упростим уравнение:

x - 3 + 5y + 5 - z + 2 = 0

x + 5y - z + 4 = 0

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку M(3; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям х–2у–z+5=0 и 3х–у+3z+3=0, имеет вид:

x + 5y - z + 4 = 0