Question

Помогите решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения Не понимаю вообще как решать их - главное подробно чтоб было Y" + 3y' - 10y = 6x^2 - 12x Y" - 4y' + 4y = 30e^2x , y(0) = 1 , y'(0) = 0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, таких как у вас, можно использовать метод вариации постоянных (метод вариации параметров). Этот метод позволяет найти частное решение уравнения. Для этого давайте следовать этим шагам.

У нас есть два уравнения:

1. $Y'' + 3Y' - 10Y = 6x^2 - 12x$
2. $Y'' - 4Y' + 4Y = 30e^{2x}$

Исходные условия: $y(0) = 1$ $y'(0) = 0$

Давайте начнем с первого уравнения:

1. Решение первого уравнения:

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: $Y'' + 3Y' - 10Y = 0$

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет: $r^2 + 3r - 10 = 0$

Мы можем решить это уравнение для нахождения корней $r$: $(r - 2)(r + 5) = 0$

$r_1 = 2$ и $r_2 = -5$

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения: $Y_h(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-5x}$

2. Нахождение частного решения первого уравнения:

Чтобы найти частное решение для неоднородной части, предположим, что частное решение имеет вид: $Y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$

Теперь мы вычислим производные частного решения и подставим их в исходное уравнение:

$Y_p'(x) = 2Ax + B$ $Y_p''(x) = 2A$

Подставим эти производные в первое уравнение:

$2A + 3(2Ax + B) - 10(Ax^2 + Bx + C) = 6x^2 - 12x$

Теперь разложим этот шаг за шагом:

$2A + 6Ax + 3B - 10Ax^2 - 10Bx - 10C = 6x^2 - 12x$

Соберем похожие члены:

$-10Ax^2 + (6A - 10B)x + (2A + 3B - 10C) = 6x^2 - 12x$

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

• Для $x^2$: $-10A = 6$, отсюда $A = -\frac{3}{5}$
• Для $x$: $6A - 10B = -12$, подставляем значение $A$: $6\left(-\frac{3}{5}\right) - 10B = -12$, отсюда $B = \frac{18}{5}$
• Для свободного члена: $2A + 3B - 10C = 0$, подставляем значения $A$ и $B$: $2\left(-\frac{3}{5}\right) + 3\left(\frac{18}{5}\right) - 10C = 0$, отсюда $C = -\frac{3}{5}$

Теперь у нас есть частное решение для первого уравнения: $Y_p(x) = -\frac{3}{5}x^2 + \frac{18}{5}x - \frac{3}{5}$

3. Общее решение первого уравнения:

Теперь мы можем записать общее решение первого уравнения, объединяя общее решение однородного уравнения и частное решение:

$Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-5x} -\frac{3}{5}x^2 + \frac{18}{5}x - \frac{3}{5}$

4. Нахождение констант $C_1$ и $C_2$ с использованием начальных условий:

Используем начальные условия, чтобы найти константы $C_1$ и $C_2$:

$Y(0) = 1$ и $Y'(0) = 0$

Подставим $x = 0$:

$C_1 + C_2 - \frac{3}{5} \cdot 0^2 + \frac{18}{5} \cdot 0 - \frac{3}{5} = 1$ $C_1 + C_2 - \frac{3}{5} = 1$

Теперь возьмем производную от $Y(x)$ и подставим $x = 0$:

$Y'(x) = 2C_1e^{2x} - 5C_2e^{-5x} - \frac{3}{5}$

$Y'(0) = 2C_1 - 5C_2 - \frac{3}{5} = 0$

Теперь у нас есть система уравнений:

$C_1 + C_2 - \frac{3}{5} = 1$ $2C_1 - 5C_2 - \frac{3}{5} = 0$

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения $C_1$ и $C_2$. Это может быть сделано, например, методом замены или методом Крамера.

После нахождения $C_1$ и $C_2`, вы можете записать окончательное решение первого уравнения.

5. Решение второго уравнения:

Процедура решения второго уравнения аналогич