Question

ДАМ ВСЕ СТО БАЛЛОВ ЗА ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УМОЛЯЮ Аня выписала на доску все натуральные числа от 1 до 5000, а затем Боря стёр какие-то k из них. При каком наибольшем k можно гарантировать, что среди оставшихся на доске чисел обязательно найдётся 31 число, одно из которых равно сумме тридцати остальных?

Answer 1

Ответ:

Хмммм = 68 1-5000 30+*30

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Первое, что мы можем заметить, это то, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 5000 равна:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 5000 = (5000 * (5000 + 1)) / 2 = 12502500.

Теперь мы хотим, чтобы среди оставшихся на доске чисел обязательно было 31 число, одно из которых равно сумме оставшихся 30 чисел.

Мы можем рассматривать суммы чисел на доске как следующим образом: S1, S2, S3, ..., Sk, где S1 <= S2 <= S3 <= ... <= Sk. Мы хотим, чтобы среди этих сумм была такая сумма, которая равна сумме 30 остальных чисел.

Поскольку S = 12502500, это означает, что каждая из сумм S1, S2, ..., Sk должна быть меньше или равна S / 31, чтобы можно было гарантировать наличие такой суммы.

S / 31 ≈ 403306.45 (округленно до ближайшего целого числа, это 403306).

Таким образом, каждая из сумм S1, S2, ..., Sk должна быть меньше или равна 403306.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда k равно 30, то есть Боря стер 30 чисел. В этом случае, оставшиеся числа должны образовывать 30 сумм, каждая из которых меньше или равна 403306. Но сумма 30 чисел, каждое из которых меньше или равно 403306, не может быть больше, чем 30 * 403306 = 12099180.

Это значит, что если k = 30 (Боря стер 30 чисел), то сумма оставшихся чисел на доске не может быть больше 12099180. Но мы знаем, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 5000 равна 12502500, что больше 12099180. Следовательно, при k = 30 мы не можем гарантировать наличие суммы, удовлетворяющей условиям задачи.

Однако, если k = 31 (Боря стер 31 число), то сумма оставшихся чисел будет равна 12502500 - k = 12502500 - 31 = 12499969, что больше 12099180. Таким образом, при k = 31 мы можем гарантировать наличие суммы, удовлетворяющей условиям задачи.

Итак, наибольшее значение k, при котором можно гарантировать наличие суммы, удовлетворяющей условиям задачи, равно 31.