Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченой линиями y=x^2, y=2-x, y=0

Answer 1

Вычесляем площадь области, закрашенной жёлтым цветом.

Для удобства вычисления разделим ее на две части (таким образом будет два интеграла от двух функций).

S1 с пределами 0 и 1

S2 с пределами 1 и 2

$S1 = \int\limits^{1} _ {0} {x}^{2} dx = \frac{ {x}^{3} }{3} | ^{1} _ {0} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

$S2 = \int\limits^{2} _ {1}(2 - x)dx = (2x - \frac{ {x}^{2} }{2} )| ^{2} _ {1} = \\ = 4 - 1 - (1 - \frac{1}{2} ) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$S= S1 + S2 = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2 + 15}{6} = \frac{17}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$, $y = 2 - x$ и $y = 0$, необходимо найти точки пересечения этих функций и найти интеграл от $y = 2 - x$ до $y = x^2$.

Сначала найдем точки пересечения:

1. $y = x^2$ и $y = 2 - x$:

$$x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$$

Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители:

$$(x + 2)(x - 1) = 0$$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x = -2$ и $x = 1$.

2. $y = x^2$ и $y = 0$:

$$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади:

$$S = \int_{-2}^{1} (x^2 - 0) dx$$

$$S = \int_{-2}^{1} x^2 dx$$

Вычислим данный интеграл:

$$S = \frac{x^3}{3} \Bigg|_{-2}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$, $y = 2 - x$ и $y = 0$, равна 3 квадратным единицам.