Question

Помогите вычислить и найти дифференциал 1-го порядка: z(x,y) = tg (y^2/x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle dz = \frac{\delta z}{\delta x} dx+\frac{\delta z}{\delta y} dy$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x } = -\frac{y^2 \bigg (tg^2( \displaystyle \frac{y^2}{x} )+1 \bigg )}{x^2}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} =\frac{2y \bigg (tg^2( \displaystyle \frac{y^2}{x})+1 \bigg ) }{x}$

$\displaystyle dz = -\frac{y^2 \bigg (tg^2( \displaystyle \frac{y^2}{x} )+1 \bigg )}{x^2}dx +\frac{2y \bigg (tg^2( \displaystyle \frac{y^2}{x})+1 \bigg ) }{x}dy$

Answer 2

Для вычисления дифференциала функции z(x, y) = tan(y^2/x) по x и y, мы можем использовать правила дифференцирования функций. Давайте начнем с частной производной по x (частная производная по y будет вычислена аналогичным образом):

Частная производная по x (∂z/∂x):

z(x, y) = tan(y^2/x)

Для этой функции мы можем использовать цепное правило:

∂z/∂x = ∂(tan(y^2/x))/∂(y^2/x) * ∂(y^2/x)/∂x

Сначала вычислим каждую из частных производных:

1. ∂(tan(y^2/x))/∂(y^2/x): Мы знаем, что производная tan(u) по u равна sec^2(u), поэтому: ∂(tan(y^2/x))/∂(y^2/x) = sec^2(y^2/x)

2. ∂(y^2/x)/∂x: Производная y^2/x по x будет (-y^2/x^2).

Теперь мы можем перемножить эти две частные производные:

∂z/∂x = sec^2(y^2/x) * (-y^2/x^2)

Теперь у нас есть частная производная z по x. Для нахождения дифференциала первого порядка dz (изменение z) в зависимости от изменений x и y, мы можем записать:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Мы уже вычислили ∂z/∂x, и теперь нам нужно вычислить ∂z/∂y.

Частная производная по y (∂z/∂y):

Для этой частной производной мы воспользуемся цепным правилом:

∂z/∂y = ∂(tan(y^2/x))/∂(y^2/x) * ∂(y^2/x)/∂y

1. Мы уже вычислили ∂(tan(y^2/x))/∂(y^2/x), это sec^2(y^2/x).
2. ∂(y^2/x)/∂y = (2y/x).

Теперь мы можем вычислить ∂z/∂y:

∂z/∂y = sec^2(y^2/x) * (2y/x)

Теперь у нас есть и ∂z/∂x, и ∂z/∂y, и мы можем записать дифференциал первого порядка dz:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Подставим значения:

dz = (sec^2(y^2/x) * (-y^2/x^2))dx + (sec^2(y^2/x) * (2y/x))dy

Это и есть дифференциал первого порядка функции z(x, y) = tan(y^2/x) по x и y.