Question

Докажите, что значение выражения 401³ + 199³ делится на 600​

Answer 1

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³


401 = (400 + 1)
199 = (200 - 1)

Значит,
401³ = (400+1)³
199³ = (199-1)³

401³ + 199³ = (400+1)³ + (199-1)³ =
= 400³ + 3•400²•1 + 3•400•1² + 1³ +
+ 200³ - 3•200²•1 + 3•200•1² - 1³ =
= 400³ + 3•400² + 3•400 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= (2•200)³ + 3•(2•200)² + 3•2•200 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= 8•200³ + 3•4•200² + 3•2•200 +
+ 200³ - 3•200² + 3•200 =
= 9•200 + 9•200² + 9•200 =
= 9•200•(200² + 200 + 1) =
= 1800 • (200² + 200 + 1)

Поскольку 1800 • (200² + 200 + 1)
кратно 600,
так как 1800:600 = 3, то и
401³ + 199³ делится на 600

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $401^3 + 199^3$ делится на 600, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и теоремой о делении с остатком.

Заметим, что $401 = 400 + 1$ и $199 = 200 - 1$. Теперь мы можем записать выражение $401^3 + 199^3$ следующим образом:

$$401^3 + 199^3 = (400 + 1)^3 + (200 - 1)^3.$$

Теперь воспользуемся биномом Ньютона для раскрытия третьей степени:

$$(400 + 1)^3 = 400^3 + 3 \cdot 400^2 \cdot 1 + 3 \cdot 400 \cdot 1^2 + 1^3 = 400^3 + 1200 \cdot 400 + 1200 + 1,$$

и

$$(200 - 1)^3 = 200^3 - 3 \cdot 200^2 \cdot 1 + 3 \cdot 200 \cdot 1^2 - 1^3 = 200^3 - 600 \cdot 200 + 600 - 1.$$

Теперь мы можем заметить, что $400^3$ и $200^3$ делятся на 600 без остатка, так как оба числа делятся на 600 (600 - это 2 * 3 * 5) и не содержат множителей, которые не являются делителями 600.

Теперь посмотрим на остатки, которые остаются от $1200 \cdot 400 + 1200 + 1$ и $-600 \cdot 200 + 600 - 1$ при делении на 600:

$$(1200 \cdot 400 + 1200 + 1) \mod 600 = 1200 \cdot (400 \mod 600) + (1200 + 1) \mod 600 = 1200 \cdot 400 + 1201 \mod 600 = 1201 \mod 600 = 1,$$

и

$$(-600 \cdot 200 + 600 - 1) \mod 600 = (-600 \cdot 200) \mod 600 = 0.$$

Теперь мы видим, что $401^3 + 199^3$ при делении на 600 даёт остаток 1. Это означает, что $401^3 + 199^3$ не делится на 600 без остатка.

Итак, выражение $401^3 + 199^3$ не делится на 600.