Question

Найти производные функций:1) x^2*5^x2) x/4-x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) y = x²*5ˣ

y' = (x²*5ˣ)' = (x²)' *5ˣ +x²*(5ˣ)' = 2x*5ˣ +x²*5ˣln(5)

2) y = x/4-x

запись не понятна, делаю два варианта

1.

$\displaystyle y'= \bigg (\frac{x}{4} -x \bigg )' = \frac{1}{4} -1=\frac{3}{4}$

2.

$\displaystyle y' = \bigg (\frac{x}{4-x} \bigg )' = \left[\begin{array}{ccc}\\(u/v)' = \displaystyle \frac{u'v-uv'}{v^2} \\\end{array}\right] =\frac{x'(4-x) -x(4-x)'}{(4-x)^2} =$

$\displaystyle = \frac{4-x -(-x)}{(4-x)^2} = \frac{4}{(4-x)^2}$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

1. $f(x) = x^2 \cdot 5^x$

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило производной произведения. Правило гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции.

Для этой функции:

$f(x) = x^2 \cdot 5^x$

Найдем производные отдельных частей:

• Производная первой функции: $f'(x) = 2x$
• Производная второй функции (5^x) требует применения правила цепочки (chain rule). Правило цепочки утверждает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае, внешняя функция - это $5^x$, а внутренняя функция - это $x$. Производная внешней функции $5^x$ равна $\ln(5) \cdot 5^x$, а производная внутренней функции $x$ равна 1.

Теперь, используя правило производной произведения, мы можем найти производную исходной функции:

$f'(x) = 2x \cdot 5^x + x^2 \cdot \ln(5) \cdot 5^x$

2. $f(x) = \frac{x}{4} - x$

Чтобы найти производную этой функции, мы можем применить правило вычитания. Правило гласит, что производная разности двух функций равна разности производных этих функций.

Для этой функции:

$f(x) = \frac{x}{4} - x$

Найдем производные отдельных частей:

• Производная первой функции $\frac{x}{4}$: $\frac{1}{4}$
• Производная второй функции $-x$: $-1$

Теперь, используя правило вычитания, мы можем найти производную исходной функции:

$f'(x) = \frac{1}{4} - 1$

Упростим эту разность:

$f'(x) = -\frac{3}{4}$

Итак, производная функции $f(x) = \frac{x}{4} - x$ равна $-\frac{3}{4}$.