Question

В школе после уроков любят играть в настольный футбол: по чётным дням мы играем в футбол после обеда, а по нечётным - до. Все разбиваются на N команд, и каждая команда играет с каждой. Так как деление на команды случайно, то результат игр (победа или поражение, без ничьих) абсолютно случайны. 1. Какова вероятность, что какая-то из команд закончит турнир без поражений. 2. Сколько раз нужно провести чемпиона, чтобы с вероятностью 92% хотя бы раз такое случилось?

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Каждий день проходит по одному турниру N команд, каждая из них проводит (N-1) игр , вииграш в которой =1/3, не вииграш =2/3

1. Вероятность вииграть в (N-1) игр для команди =

С(N-1, N-1)×(1/3)^(N-1)×(2/3)^0=(1/3)^ (N-1)

2.

k>=(ln(1-0.92)/ln(1-(1/3)^(N-1))=

−2.53/ln(1-1/3^(N-1))

Answer 2

1. Вероятность того, что какая-то из команд не потеряет ни одной игры:

Представим, что у нас есть $N$ команд. В турнире каждая команда сыграет с $N - 1$ другими командами. Если команда не потерпит ни одного поражения, это означает, что она должна выиграть все свои матчи. Для каждой команды вероятность выигрыша одного матча равна $0.5$ (половина шансов).

Таким образом, вероятность того, что конкретная команда выиграет все свои $N - 1$ матчей, составляет $0.5^{N - 1}$. Поскольку у нас есть $N$ команд, вероятность того, что хотя бы одна из них выиграет все свои матчи, равна $N \times 0.5^{N - 1}$.

2. Количество турниров для достижения вероятности 92%:

Чтобы найти количество турниров ($k$), необходимых для того, чтобы с вероятностью 92% хотя бы один из них закончился без поражений, мы можем воспользоваться формулой:

$1 - (1 - P)^k \geq 0.92$

где $P$ - вероятность того, что один турнир закончится без поражений (рассчитанная в первом вопросе).

$1 - (1 - N \times 0.5^{N - 1})^k \geq 0.92$

Решение этого уравнения даст нам количество турниров ($k$), необходимых для достижения вероятности 92%.

Обратите внимание, что эти вычисления могут быть сложными без использования программирования или специальных программ для численного решения.