Question

X^2y`=y^2-xy+x^2 найти решение однородного дифференциального уравнения 1го порядка, ответ нужен не позже чем через 3 часа с момента публикации вопроса

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} y' = {y}^{2} - xy + {x}^{2} \: \: \: | \div {x}^{2} \\ y = \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } - \frac{y}{x} + 1 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = {u}^{2} - u + 1 \\ \frac{du}{dx} x = {u}^{2} - 2u + 1 \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} - 2u + 1} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d(u - 1)}{(u - 1) {}^{2} } = ln(x) + C\\ \frac{ { {(u - 1)}^{ - 1} } } { - 1} = ln(x ) + C\: \: \: | \times ( - 1)\\ \frac{1}{u - 1} = - ln(x) + C\\ \frac{1}{ \frac{y}{x} - 1 } = - ln(x) + C \\ \frac{x}{y - x} = - ln(x) + C\\ \frac{1}{y - x} = \frac{ - ln(x) + C}{x} \\ y - x = \frac{x}{ - ln(x) + C} \\ y = \frac{x}{C - ln(x) } + x$

общее решение

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение и найдем его решение. Уравнение, которое дано вам, выглядит следующим образом:

x^2 * y' = y^2 - xy + x^2

Для того чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте сгруппируем все члены с y и x в одной стороне уравнения, а константы в другой:

x^2 * y' - y^2 + xy - x^2 = 0

Теперь мы можем разделить переменные, переместив члены с y' и y на одну сторону, а члены с x на другую сторону:

x^2 * y' - y^2 = x^2 - xy

Теперь давайте поделим обе стороны на x^2 - y^2:

(y' / (x^2 - y^2)) = (x^2 - xy) / (x^2 - y^2)

Теперь мы можем воспользоваться методом разделения переменных, интегрируя обе стороны:

∫(1 / (x^2 - y^2)) dy = ∫((x^2 - xy) / (x^2 - y^2)) dx

Для левой стороны давайте воспользуемся частичной дробью:

∫(1 / (x^2 - y^2)) dy = ∫((A / (x + y)) + (B / (x - y))) dy

где A и B - это некие константы, которые нужно найти.

Теперь интегрируем обе стороны:

A∫(1 / (x + y)) dy + B∫(1 / (x - y)) dy = ∫((x^2 - xy) / (x^2 - y^2)) dx

Вычислим интегралы по y:

A ln |x + y| - B ln |x - y| = ∫((x^2 - xy) / (x^2 - y^2)) dx

Теперь можем интегрировать правую сторону. Для этого давайте сделаем замену переменной: u = x^2 - y^2, тогда du = (2x - 2y)dx, и dx = (du / (2x - 2y)).

∫((x^2 - xy) / (x^2 - y^2)) dx = ∫(u / (2(x - y))) du

Теперь интегрируем по u:

(1/2)∫(u / (x - y)) du = (1/2)∫du = (1/2)u + C

Теперь подставим обратно u = x^2 - y^2:

(1/2)(x^2 - y^2) + C = A ln |x + y| - B ln |x - y|

Теперь мы можем найти константу C, подставив начальные условия или дополнительную информацию о решении. Если у вас есть какие-либо начальные условия, пожалуйста, предоставьте их, и мы сможем найти конкретное решение.