Question

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке К. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе АР треугольника и пересекающая стороны АС и ВС в точках М и N соответственно. а) докажите , что угол МОС равен углу NОК. б) найдите периметр треуголника АВС, если отношение площадей трапеции АМТN и треугольника АВС равно 2:7, МN = 2, АМ+РN =6 .

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника BOK равна KB*KO/2 (так как BKO прямой)

Угол OBK=альфа/2, так как BO биссектриса

Если обозначить точки касания на сторонах AB и AC через L и M соответственно и рассмотреть треугольники образованные точками касания, соседними вершинами треугольника и центром окружности, то окажется, что есть пары равных треугольников, из чего следует, что LB=KB, KC=MC, MA=LA. Подставляя эти равенства в LA+LB+KB+KC+MC+MA=2p, получаем 2MC+2MA+2KB=2p, откуда MC+MA+KB=p. С другой стороны, MC+MA=AC=a, поэтому KB=p-a

Тогда из треугольника OBK OB=KB*tg(альфа/2)=(p-a)*tg(альфа/2)

Подставляя в формулу для площади получим

S=((p-a)^2*tg(альфа/2))/2

Answer 2

Давайте начнем с доказательства, что угол МОС равен углу NОК.

a) Доказательство равенства углов МОС и NОК:

1. Поскольку КМ и КН - касательные к вписанной окружности, то они равны по длине, так как они равны радиусу окружности, проведенному из центра О.

2. Поскольку М и Н - точки касания касательных с окружностью, то угол МОК и угол НОК являются прямыми углами.

3. Теперь у нас есть две пары равных углов: угол КМО равен углу КНО (по вертикальным углам) и угол КОМ равен углу КОН (по равенству прямых углов).

4. Из этих двух пар равных углов следует, что угол МОС равен углу NОК.

Таким образом, угол МОС равен углу NОК (ОК = ОК, угол КМО = угол КНО, угол КОМ = угол КОН).

b) Теперь давайте найдем периметр треугольника АВС.

Мы знаем, что отношение площадей трапеции АМТN и треугольника АВС равно 2:7. Пусть S_АМТN - площадь трапеции, а S_АВС - площадь треугольника. Тогда:

S_АМТN / S_АВС = 2/7

Теперь давайте рассмотрим отношение площадей трапеции и треугольника через их высоты. Пусть h_АМТN - высота трапеции, а h_АВС - высота треугольника. Тогда:

S_АМТN / S_АВС = h_АМТN / h_АВС

Мы знаем, что МN = 2, и AM + PN = 6. Пусть AM = x, тогда PN = 6 - x.

Теперь мы можем использовать подобные треугольники АМК и АНК (по пропорциональности высот) для нахождения высоты h_АМТN:

h_АМТN / h_АВС = AM / AN = x / (6 - x)

Теперь мы можем установить равенство:

x / (6 - x) = 2/7

Перекроем доли и решим уравнение:

7x = 2(6 - x)

7x = 12 - 2x

9x = 12

x = 12 / 9

x = 4/3

Теперь мы знаем, что AM = 4/3 и PN = 6 - 4/3 = 14/3.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника АВС:

AB = AM + MB = 4/3 + 2 = 10/3 BC = BK + KC = 14/3 + 2 = 20/3 AC = AM + MC = 4/3 + 2 = 10/3

Теперь мы можем найти периметр треугольника АВС:

Периметр = AB + BC + AC = (10/3) + (20/3) + (10/3) = 40/3

Таким образом, периметр треугольника АВС равен 40/3.