Question

Нужно разложить на множителиx⁴-6x³-3x²+16x+12​

Answer 1

Многочлены третьей и четвёртой степеней можно разложить на множители, если множители свободного члена являются корнями уравнения, в котором многочлен приравнивается нулю.

В нашем случае такие данные:

1      -1     2     -2        3      -3      4       -4       6       -6

20      0    0      32    -48  180      -100         540     0         2400.

Как видим, три множителя соответствуют корням.

Это х1= -1, х2 = 2, х3 = 6.

Далее надо делить многочлен на двучлен с одним из полученных значений. Например так:

x⁴-6x³-3x²+16x+12| (x + 1)            

x⁴+x³                       x³-7x²+4x+12

  -7x³-3x²

  -7x³-7x²          

         4x²+16x      

        4x²+4x      

                12x+12

                12x+12

                   0

Ответ: x⁴-6x³-3x²+16x+12 = (x-6)(x-2)(x+1)².

Answer 2

Для разложения данного многочлена на множители мы сначала попробуем найти рациональные корни с помощью рациональной теоремы о корнях (теоремы о столбах).

Многочлен: x⁴ - 6x³ - 3x² + 16x + 12

Первым шагом мы ищем рациональные корни, которые могут быть записаны в виде p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 12), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные рациональные корни включают ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Теперь мы можем использовать рациональную теорему о корнях, чтобы определить, какие из этих значений являются корнями многочлена. Подставляя каждое из этих значений в многочлен и проверяя, равно ли значение многочлена нулю, мы можем найти корни.

Попробуем начать с 1:

Подставим x = 1: 1⁴ - 61³ - 31² + 16*1 + 12 = 1 - 6 - 3 + 16 + 12 = 20

Подставим x = -1: (-1)⁴ - 6*(-1)³ - 3*(-1)² + 16*(-1) + 12 = 1 + 6 - 3 - 16 + 12 = 0

Мы нашли, что x = -1 является корнем многочлена. Теперь мы можем разделить многочлен на (x + 1) с помощью синтетического деления или деления с остатком:

(x⁴ - 6x³ - 3x² + 16x + 12) / (x + 1)

Сначала найдем частное:

x³ - 7x² + 4x + 12

Теперь разложим полученный кубический многочлен, используя аналогичный метод. Попробуем найти рациональные корни для x³ - 7x² + 4x + 12:

Возможные рациональные корни включают ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Подставим x = 1: 1³ - 71² + 41 + 12 = 1 - 7 + 4 + 12 = 10

Подставим x = -1: (-1)³ - 7*(-1)² + 4*(-1) + 12 = -1 - 7 - 4 + 12 = 0

Мы нашли, что x = -1 также является корнем нового многочлена. Теперь можем разделить его на (x + 1):

(x³ - 7x² + 4x + 12) / (x + 1)

Частное: x² - 8x + 12

Теперь разложим x² - 8x + 12 на множители:

x² - 8x + 12 = (x - 6)(x - 2)

Таким образом, разложение многочлена x⁴ - 6x³ - 3x² + 16x + 12 на множители выглядит следующим образом:

x⁴ - 6x³ - 3x² + 16x + 12 = (x + 1)(x + 1)(x - 6)(x - 2)