Question

Высшая математика 1 курс, помогите прошу!!! 10. Обчислити площу фігури, обмеженої даними лініями у Декартовій системі координат: y=x^2, y=4x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики, определяем фигуру и пределы интегрирования

$\displaystyle S=\int\limits^4_0 {4x-x^2} \, dx = 2x^2\bigg |_0^4 -\frac{x^3}{3} \bigg |_0^4=32-\frac{64}{3} =\frac{32}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими $y = x^2$ та $y = 4x$, потрібно знайти точки перетину цих кривих та обчислити інтеграл від $y = 4x$ до $y = x^2$, використовуючи ці точки як межі інтегрування.

1. Знайдемо точки перетину кривих $y = x^2$ та $y = 4x$: Покладемо $x^2 = 4x$ та розв'яжемо це рівняння для знаходження $x$:

   $$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$$

   Отримуємо дві точки перетину: $x = 0$ та $x = 4$.

2. Тепер обчислимо площу фігури, використовуючи інтеграл: Площа $S$ фігури між кривими $y = 4x$ та $y = x^2$ обчислюється наступним чином:

   $$S = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx$$

   Розрахунок інтегралу:

   $$S = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right]_{0}^{4}$$
   $$S = \left(\frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2\right) = \frac{64}{3} - 32 = \frac{64 - 96}{3} = -\frac{32}{3}$$

Таким чином, площа фігури, обмеженої кривими $y = x^2$ та $y = 4x$, дорівнює $-\frac{32}{3}$. Важливо відзначити, що площа не може бути від'ємною, тому можна взяти абсолютне значення, якщо потрібно виразити площу у не від'ємному вигляді.