Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, що задані в полярній системі координат r = 4 cos 3φ, r = 2, (r ≥ 2),

Answer 1

а) k= -1/2

б) у= - 1/2х

Решение:

рассмотрим график: возьмём точку по оси ОХ х=2 - соответственно по оси ОУ у=-1 , то есть координаты точки( 2;-1)

можем записать уравнение у= -1/2х ( -1/2- коэффициент пропорциональности)

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої даними лініями в полярній системі координат, ми повинні знайти точки перетину цих ліній, побудувати різницю між відповідними значеннями кутової координати (φ) для цих точок і використовувати інтеграл для обчислення площі в межах цих кутових значень.

Лінія r = 4cos(3φ) виглядає як крива, що має три обороти проти годинникової стрілки за кожний повний оборот φ від 0 до 2π. Ця крива зустрічається з лінією r = 2, коли r = 4cos(3φ) = 2.

Розв'язавши рівняння 4cos(3φ) = 2, ми знаходимо значення φ:

4cos(3φ) = 2 cos(3φ) = 0.5 3φ = arccos(0.5) 3φ = π/3 φ = π/9

Отже, це означає, що точки перетину рівнянь знаходяться при φ = π/9 і φ = 2π/3.

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, використовуючи інтеграл від φ = π/9 до φ = 2π/3, інтегруючи від r = 2 до r = 4cos(3φ):

Площа = ∫[π/9, 2π/3] ∫[2, 4cos(3φ)] r dr dφ

Спочатку обчислимо інтеграл по r:

∫[2, 4cos(3φ)] r dr = [r^2/2] |[2, 4cos(3φ)] = (16cos^2(3φ) - 2)/2 = 8cos^2(3φ) - 1

Тепер обчислимо інтеграл по φ:

∫[π/9, 2π/3] (8cos^2(3φ) - 1) dφ

Тут можна використовувати тотожність: cos^2(3φ) = (1 + cos(6φ))/2

Отже, інтеграл стає:

∫[π/9, 2π/3] (8(1 + cos(6φ))/2 - 1) dφ = ∫[π/9, 2π/3] (4(1 + cos(6φ)) - 1) dφ = 4[φ + (sin(6φ)/6)] |[π/9, 2π/3] - (2/3)(2π/3 - π/9) = 4[(2π/3 - π/9 + (sin(4π/3) - sin(2π/3))/6] - (2/3)(4π/3 - π/9) = 4[(4π/9 + (sqrt(3)/6) - (sqrt(3)/6))/6] - (2/3)(12π/9 - 4π/9) = 4[(4π/9)/6] - (2/3)(8π/9) = (8π/9) - (16π/9) = -8π/9

Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями в полярній системі координат, дорівнює -8π/9 квадратних одиниць.