Question

Найдите наибольшее значение функции y = 2sin3x+cos3x Помогите пожалуйста Желательно что бы все было расписано ​

Answer 1

Для преобразования выражения воспользуемся следующим приемом:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2} } \sin x+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }\cos x\right)$

Введем обозначения:

$\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2} }=\cos\varphi;\ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }=\sin\varphi$

Тогда, получим формулу:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \left(\sin x\cos\varphi+\sin\varphi\cos x\right)=\sqrt{A^2+B^2} \sin (x+\varphi)$

Или:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \sin\left(x+\arcsin\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }\right)$

Рассмотрим заданную функцию:

$y = 2\sin3x+\cos3x$

Преобразуем:

$y = \sqrt{2^2+1^2} \left(\dfrac{2}{\sqrt{2^2+1^2}} \sin3x+\dfrac{1}{\sqrt{2^2+1^2}} \cos3x\right)$

$y = \sqrt{5} \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} \sin3x+\dfrac{1}{\sqrt{5}} \cos3x\right)$

Введя обозначения $\cos\alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}} ;\ \sin\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$, получим:

$y = \sqrt{5} \left(\sin3x\cos\alpha +\sin\alpha \cos3x\right)$

$y = \sqrt{5} \sin(3x+\alpha)$

Зная, что синус принимает значения из отрезка от -1 до 1, найдем область значений функции:

$-1\leqslant \sin(3x+\alpha)\leqslant 1$

$-\sqrt{5}\leqslant \sqrt{5} \sin(3x+\alpha)\leqslant \sqrt{5}$

Тогда, наибольшее значение функции:

$y_{\max}=\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 2sin(3x) + cos(3x), мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Сначала найдем производную этой функции, а затем найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить местоположение максимумов.

1. Найдем производную функции y по x: y = 2sin(3x) + cos(3x) y' = 2 * 3cos(3x) - 3sin(3x)

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек: 2 * 3cos(3x) - 3sin(3x) = 0

3. Разделим уравнение на 3, чтобы упростить его: 2cos(3x) - sin(3x) = 0

4. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin(3x) = 2sin(x)cos(2x) для упрощения: 2cos(3x) - 2sin(x)cos(2x) = 0

5. Теперь выразим cos(2x) через cos(3x): 2cos(3x) - 2sin(x)(1 - 2sin^2(x)) = 0

6. Упростим уравнение: 2cos(3x) - 2sin(x) + 4sin^3(x) = 0

7. Теперь мы имеем уравнение с одной переменной, которое можно решить. Решения этого уравнения будут значениями x, в которых производная равна нулю и, следовательно, может быть максимум функции.

8. Решим уравнение численно, используя методы вычислительной математики, например, метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения x.

После того как вы найдете значения x, вставьте их обратно в исходную функцию y = 2sin(3x) + cos(3x), чтобы найти соответствующие значения y и определить наибольшее значение функции.