Question

Найти промежутки монотонности функции y=2x^3-6x+5

Answer 1

Ответ:

$y = 2 \times {0}^{3} - 6 \times 0 + 5$

$y = 5$

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции $y = 2x^3 - 6x + 5$, нужно найти её производную и анализировать знак производной на разных интервалах. Когда производная положительна, функция возрастает, когда отрицательна, функция убывает, и когда равна нулю, происходит изменение направления монотонности.

Давайте найдем производную функции:

$y' = 6x^2 - 6$.

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$6x^2 - 6 = 0$.

Решим это уравнение:

$6x^2 = 6$,

$x^2 = 1$,

$x = \pm 1$.

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Теперь давайте проведем анализ знаков производной на интервалах между и после критических точек:

1. Если $x < -1$, то $6x^2 - 6$ положительное, так как $x^2$ всегда положительно, а $6$ отрицательно. Значит, $y'$ положительна на интервале $(-\infty, -1)$. Это означает, что функция $y$ возрастает на этом интервале.

2. Если $-1 < x < 1$, то $6x^2 - 6$ отрицательное, так как $x^2$ всегда положительно, а $6$ отрицательно. Значит, $y'$ отрицательна на интервале $(-1, 1)$. Это означает, что функция $y$ убывает на этом интервале.

3. Если $x > 1$, то $6x^2 - 6$ снова положительное (по тем же соображениям, что и в первом случае), и $y'$ положительна на интервале $(1, +\infty)$. Функция $y$ снова возрастает на этом интервале.

Итак, мы определили промежутки монотонности функции $y = 2x^3 - 6x + 5$:

• $y$ возрастает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.
• $y$ убывает на $(-1, 1)$.

Это информация о том, как меняется функция $y$ относительно $x$ на различных интервалах.