Question

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условиям. y'-2y+3e^2x=0, y=1 при x=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения с начальным условием, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Уравнение имеет вид:

y' - 2y + 3e^(2x) = 0

Давайте проинтегрируем обе стороны уравнения по x:

∫(y' - 2y + 3e^(2x)) dx = ∫0 dx

Теперь применяем интегрирование по частям к первым двум членам слева:

∫y' dx - 2∫y dx + 3∫e^(2x) dx = ∫0 dx

Интеграл ∫y' dx равен y, интеграл ∫e^(2x) dx равен (1/2)e^(2x), и мы получаем:

y - 2∫y dx + (3/2)e^(2x) = C

Теперь, чтобы найти постоянную интегрирования C, воспользуемся начальным условием: y = 1 при x = 0. Подставляем эти значения:

1 - 2∫(1) dx + (3/2)e^(2*0) = C

1 - 2x + (3/2) = C

C = (3/2) - 2x + 1

C = -(2x - 1/2)

Теперь, когда у нас есть значение C, мы можем записать окончательное частное решение уравнения:

y - 2∫y dx + (3/2)e^(2x) = -(2x - 1/2)

y - 2∫y dx + (3/2)e^(2x) = -(2x) + 1

y - 2∫y dx = -(2x) + 1 - (3/2)e^(2x)

Теперь мы можем найти интеграл ∫y dx:

∫y dx = y

Таким образом, наше частное решение имеет вид:

y = -(2x) + 1 - (3/2)e^(2x) + 2y

Это частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = 1 при x = 0.