Question

известно, что f(x)=ax^2+bx+c и уравнение f(x)=x не имеет корней. Может ли уравнение f(f(x))=x иметь корни?

Answer 1

Ответ:Функция f(x)-x всюду определена,непрерывна,и нигде не обращается в ноль. Отсюда либо f(x)<x для всех x,либо f(x)>x для всех x;

Предположим,что уравнение f(f(x))=x имеет корень.Обозначим y=f(x). Тогда x=f(y).Если имеет место первый случай из предыдущего абзаца, то y<x и x<y-противоречие.Если второй, то y>x и x>y-снова противоречие;  

Здесь вместо f(x)=ax^2+bx+c можно взять любую непрерывную функцию,заданную на всей прямой.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с условием, что уравнение $f(x) = x$ не имеет корней. Это означает, что график функции $f(x)$ не пересекает линию $y = x$, и нет точек, где $f(x) = x$. Графически это означает, что график функции $f(x)$ и линия $y = x$ не имеют общих точек пересечения.

Теперь рассмотрим уравнение $f(f(x)) = x$. Это означает, что мы подставляем $f(x)$ вместо $x$ в функцию $f(x)$. То есть, у нас есть следующая цепочка:

$f(f(x)) = x$

Теперь, если мы рассмотрим график функции $f(f(x))$, он будет представлять собой композицию двух функций. Однако, так как $f(x) = x$ не имеет корней и не пересекает линию $y = x$, композиция $f(f(x))$ также не будет иметь корней и не пересечет линию $y = x$.

Таким образом, уравнение $f(f(x)) = x$ также не будет иметь корней и не пересекет линию $y = x$, при условии, что уравнение $f(x) = x$ не имеет корней.