Question

СРОЧНАЯ ЗАДАЧА! На доске написано число. Мальчик играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2016 и записать полученный результат, стерев предыдущее число. Может ли мальчик, действуя таким образом, в конце концов получить число 1? (В ответе запиши да или нет.)

Answer 1

Ответ:

Да

Пошаговое объяснение:

Надо рассмотреть варианты, когда число начинается с 1, и когда оно начинается с др. цифр.

Пусть первая цифра в задуманном числе 1ххххх - в этом случае, мы будет просто все время стирать одну последнюю цифру, пока в итоге не останется цифра 1.Пусть первая цифра не 1, а любая другая (2хххх, 3хххх, 4хххх и т.д). Мы можем, последовательно стирая по одной цифре сзади числа в конце концов получить: 2,3,4 и т.д одну цифру.

Теперь надо к этой цифре прибавить 5 раз подряд число 2016, то есть в общем мы прибавим число 10090. Очевидно, что какую цифру далее мы бы не прибавили 2,3,4,5 и т.д число все равно будет начинаться с 1. А далее мы просто повторим пункт 1. То есть будем стирать последнюю цифру, пока не получим 1. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Да, мальчик может в конце концов получить число 1, если он начнет с числа, которое кратно 5.

Рассмотрим процесс:

1. Если начать с числа, кратного 5 (например, 5), мальчик прибавит 2016 и получит 2021, затем стерет 5.

2. Теперь у него есть 2021. Он может стереть 1, и останется 202, затем он прибавит 2016 и получит 2218, стерев 202.

3. Он повторит этот процесс, пока не получит число 1:

   • 2218 → 218
   • 218 → 17
   • 17 → 1

Таким образом, мальчик может действуя таким образом, в конце концов получить число 1.