Question

Найти область определения функции z= корень из 2x^2-y^2

Answer 1

Ответ:

z=

x

2

+y

2

−5

Область определения функции состоит из точек плоскости Oxy, в которых подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому рассмотрим неравенство:

x² + y² –5 ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 5.

Так как x² + y² = 5 является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом √5, то функция будет определена во всех точках, не лежащих внутри этой окружности. На рисунке область определения функции изображена красным цветом.

Answer 2

Чтобы найти область определения функции $z = \sqrt{2x^2 - y^2}$, нужно определить, для каких значений $x$ и $y$ данное выражение имеет смысл, то есть для каких значений $2x^2 - y^2$ неотрицательно.

Выражение $2x^2 - y^2$ должно быть неотрицательным или равным нулю:

$2x^2 - y^2 \geq 0$

Теперь выразим $y^2$ и получим:

$y^2 \leq 2x^2$

Чтобы найти область определения $z$, мы видим, что $y^2$ не может быть больше $2x^2$ (иначе выражение под корнем станет отрицательным, что не допускается в действительных числах). Таким образом, область определения $z$ будет заключаться в следующем:

Для всех действительных чисел $x$ и $y$, таких что $y^2 \leq 2x^2$.

Это означает, что область определения функции $z$ - это множество всех точек $(x, y)$ в плоскости, которые находятся внутри или на границе эллипса с полуосями, параллельными осям координат, и отношением большей полуоси к меньшей полуоси, равным $\sqrt{2}$.