Question

Найти значение параметра a , при котором наибольшее значение функции y= -x²+(13a+2)x-36a²-38a+7 минимально с подробным описаниемкто просто забирает очки забанюОтвет: 2​

Answer 1

Ответ:

a = 2

Пошаговое объяснение:

Выделим полный квадрат (можно и без этого, если вы знаете формулу координат вершины параболы):

$-x^2+(13a+2)x-36a^2-38a+7=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{13a+2}2+\dfrac{169a^2+52a+4}{4}\right)+\\+\dfrac{169a^2+52a+4}{4}-36a^2-38a+7=-\left(x-\dfrac{13a+2}2\right)^2+\dfrac{25a^2-100a+32}4$

Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то первое слагаемое меньше либо равно нуля, и наибольшее значение суммы достигается, когда квадрат равен нулю, то есть при x = (13a + 2)/2.

Наибольшее значение равно

$\dfrac{25a^2-100a+32}4$

Если оно минимально, то и $25a^2-100a+32$ тоже принимает наименьшее значение. Поступаем так же, выделяем полный квадрат:

$25a^2-100a+32=((5a)^2-2\cdot5a\cdot10+10^2)-10^2+32=(5a-10)^2-68$

Вновь, так как квадрат принимает все значения, большие 0, то наименьшее значение будет тогда, когда $5a-10=0$, т.е. при $a=2$

Answer 2

Для нахождения значения параметра "a", при котором функция y = -x² + (13a + 2)x - 36a² - 38a + 7 имеет наибольшее минимальное значение, мы можем воспользоваться процедурой оптимизации. В данном случае, нас интересует поиск минимума функции.

Сначала, найдем производную функции по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

y' = -2x + 13a + 2

Теперь приравняем эту производную к нулю и решим уравнение относительно x:

-2x + 13a + 2 = 0

-2x = -13a - 2

x = (13a + 2)/2

Теперь мы знаем, что значение x, при котором производная равна нулю (точка экстремума), равно (13a + 2)/2.

Далее, чтобы найти значение "a", при котором этот экстремум будет минимальным, нам нужно проанализировать вторую производную функции (y''). Если y'' положительная, то это будет минимум. Если она отрицательная, то это будет максимум. Давайте найдем вторую производную:

y'' = -2

Как видно, вторая производная постоянно отрицательная (-2), что означает, что у нас есть максимум функции в точке (13a + 2)/2.

Теперь мы хотим, чтобы это значение было минимальным. Для этого нужно минимизировать выражение (13a + 2)/2. Минимум достигается, когда числитель (13a + 2) минимален. Таким образом:

13a + 2 = 0

13a = -2

a = -2/13

Таким образом, значение параметра "a", при котором наибольшее значение функции y = -x² + (13a + 2)x - 36a² - 38a + 7 минимально, равно a = -2/13.