Question

Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = sin 2х при х0 = π / 3. Найти уравнение касательной к графику функции у = sin 2х при х0 = π / 3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уравнение касательной

$\displaystyle y_k = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$

$y(x_0)=y(\pi /3) = \sqrt{3} /2$

y' = (sin(2x))' = 2cos(2x)

$\displaystyle y'(x_0) y'(\pi /3) = 2cos(2\pi /3) = -1$

тогда уравнение касательной в точке х=π/3

$\displaystyle y_k=\frac{\sqrt{3} }{2}+(-1)(x-\frac{\pi }{3} )$

или

$\displaystyle y_k=-x+\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{\pi }{3}$

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції у = sin(2x) при х₀ = π/3, нам потрібно знайти значення похідної функції у в точці х₀ і використовувати це значення для побудови рівняння дотичної в точці (х₀, у(х₀)).

1. Знайдемо похідну функції у = sin(2x):

   y = sin(2x)

   y' = d/dx(sin(2x))

   Застосуємо правило диференціювання синуса: (sin(u))' = cos(u) * u', де u = 2x.

   y' = cos(2x) * 2

   y' = 2cos(2x)

2. Знайдемо значення похідної в точці х₀ = π/3:

   y'(π/3) = 2cos(2 * π/3) = 2cos(2π/3)

   Для знаходження значення cos(2π/3) можемо використати відоме значення косинуса для кута 2π/3, яке дорівнює -1/2:

   y'(π/3) = 2 * (-1/2) = -1

3. Тепер, коли у нас є значення похідної в точці (π/3, sin(2π/3)), можемо скласти рівняння дотичної:

   Використовуючи формулу для рівняння прямої в точці (x₀, y₀):

   y - y₀ = m(x - x₀),

   де (x₀, y₀) - точка на графіку функції, m - нахил дотичної, (x, y) - змінні координати точки на дотичній.

   Підставляючи значення (x₀, y₀) = (π/3, sin(2π/3)) і m = -1:

   y - sin(2π/3) = -1(x - π/3)

   Зведемо це рівняння до стандартного вигляду:

   y = -x + π/3 + sin(2π/3)

   Отже, рівняння дотичної до графіка функції у = sin(2x) в точці х₀ = π/3:

   y = -x + π/3 + sin(2π/3)