Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций: , y=2-x, y=0, через интегрирование​

Answer 1

Построим все эти графики в одной системе координат (см. вложение №1). Получившаяся фигура не является криволинейной трапецией, но, проведя прямую $x = 1$ (см. вложение №2), можно разбить её на две криволинейные трапеции, у каждой из которых можно найти площадь. Искомая площадь является суммой площадей двух составляющих эту фигуру криволинейных трапеций.

Итак, находим площадь левой криволинейной трапеции.

$\displaystyle S_1 = \int\limits_0^1 \sqrt{x}\,\ dx\ =\ \int\limits_0^1x^{\frac{1}{2}}\,\ dx\ =\ \dfrac{2x^\frac{3}{2}}{3}\ \Bigg|_0^1\ = \dfrac{2\cdot 1}{3} - \dfrac{2\cdot 0}{3} = \bf{\dfrac{2}{3}}$

Теперь находим площадь правой криволинейной трапеции.

$\displaystyle S_2 = \int\limits_1^2(2-x)\,\ dx\ =\ 2x - \dfrac{x^2}{2}\ \Bigg|_1^2\ =2\cdot 2 - \dfrac{2^2}{2} - \left(2 - \dfrac{1}{2}\right) = 4 - 2 - 2 +\dfrac{1}{2} =\\\\\\= \bf{\dfrac{1}{2}}$

А теперь складываем и находим искомую площадь.

$S = S_1 + S_2 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6} = \boxed{\bf{1\dfrac{1}{6}}}$ .

Ответ:  $1\dfrac{1}{6}$ .

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = 0$, мы можем воспользоваться интегрированием. Площадь этой фигуры будет равна интегралу от $y = 2 - x$ до $y = 0$ по оси $x$. Для этого выполним следующие шаги:

1. Сначала найдем точки пересечения графиков $y = 2 - x$ и $y = 0$, чтобы определить пределы интегрирования. Установим $2 - x = 0$ и решим уравнение для $x$:

$2 - x = 0$ $x = 2$

Таким образом, точка пересечения находится при $x = 2$.

2. Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади фигуры:

$$\text{Площадь} = \int_{a}^{b} (2 - x) \, dx$$

Где $a$ и $b$ - это пределы интегрирования, которые равны 0 (нижний предел) и 2 (верхний предел) соответственно.

3. Вычислим данный интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{0}^{2} (2 - x) \, dx$$

Для нахождения интеграла $\int (2 - x) \, dx$, возьмем интеграл каждого слагаемого по отдельности:

$$\int (2 - x) \, dx = 2x - \frac{x^2}{2} + C$$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$$\text{Площадь} = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \left[2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right] - \left[2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}\right] = (4 - 2) - (0 - 0) = 2$$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = 0$, равна 2 квадратным единицам.