Question

2π/3 Вычислите определенный интеграл: ∫ (2 + cos (x/2) dx 0

Answer 1

-----------------------------------

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла ∫(2 + cos(x/2)) dx от 0 до 2π/3, мы можем разбить этот интеграл на два части и вычислить каждую из них отдельно, используя определение определенного интеграла.

1. ∫(2 + cos(x/2)) dx от 0 до 2π/3

Сначала вычислим интеграл ∫(2 + cos(x/2)) dx:

∫(2 + cos(x/2)) dx = ∫2 dx + ∫cos(x/2) dx

Интеграл ∫2 dx равен 2x, а интеграл ∫cos(x/2) dx можно вычислить, используя замену:

Пусть t = x/2, тогда dt = (1/2)dx, или dx = 2dt.

Интеграл ∫cos(x/2) dx становится ∫cos(t) * 2dt = 2∫cos(t) dt.

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

2∫cos(t) dt = 2 * (sin(t)) + C,

где C - константа интеграции.

Теперь вернемся к переменной x:

2 * (sin(t)) + C = 2 * sin(x/2) + C.

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫(2 + cos(x/2)) dx от 0 до 2π/3:

[2x + 2 * sin(x/2) + C] (от 0 до 2π/3)

Подставим верхний предел:

[2 * (2π/3) + 2 * sin(2π/3/2) + C]

Теперь подставим нижний предел (который равен 0):

[2 * (2π/3) + 2 * sin(2π/6) + C]

Упростим:

(4π/3 + 2 * sin(π/3) + C)

Синус π/3 равен √3/2, поэтому:

(4π/3 + 2 * (√3/2) + C)

Теперь можно вычислить числовое значение этого выражения:

(4π/3 + √3 + C)

Таким образом, определенный интеграл ∫(2 + cos(x/2)) dx от 0 до 2π/3 равен (4π/3 + √3 + C).