Question

Найти частичное решение дифференциального уравнения (xy^2+y^2)dx+(x^2-x^2y)dy=0 если у=1, при х=1.

Answer 1

Ответ:

$(x {y}^{2} + {y}^{2} )dx + ( {x}^{2} - {x}^{2} y)dy = 0 \\ {y}^{2} (x + 1) + {x}^{2} (1 - y)dy = 0 \\ {x}^{2} (1 - y)dy = - {y}^{2} (x + 1)dx \\ \int\limits \frac{1 - y}{ {y}^{2} } dy = - \int\limits \frac{x + 1}{ {x}^{2} } dx \\ \int\limits( \frac{1}{ {y}^{2} } - \frac{y}{ {y}^{2} } )dy = -\int\limits ( \frac{x}{ {x}^{2} } + \frac{1}{ {x}^{2} } ) dx \\ \int\limits( {y}^{ - 2} - \frac{1}{y} )dy = -\int\limits( \frac{1}{x} + {x}^{ - 2}) dx \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} - ln |y| = - ln |x| + \frac{ {x}^{ - 1} }{( - 1)} + c\\ - \frac{1}{y} - ln |y| = - ln |x| - \frac{1}{x} + c \\ \frac{1}{y} + ln |y| = ln |x| + \frac{1}{x} - c$

общее решение

$y(1) = 1$

$1 + ln(1) = ln(1) + 1 - c \\ c = 0$

$\frac{1}{y} + ln (y) = \frac{1}{x} + ln (y)$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частичного решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого давайте перепишем уравнение в виде:

(xy^2 + y^2) dx + (x^2 - x^2y) dy = 0

Теперь разделим переменные, перемещая все члены с x на одну сторону и все члены с y на другую сторону:

(xy^2 + y^2) dx = -(x^2 - x^2y) dy

Теперь разделим обе стороны на соответствующие выражения:

(dx / (x^2 - x^2y)) = -dy / (xy^2 + y^2)

Далее, возьмем интегралы от обеих сторон:

∫(dx / (x^2 - x^2y)) = -∫(dy / (xy^2 + y^2))

Интегралы справа и слева могут быть сложными, но давайте попробуем решить это по шагам.

Сначала интегрируем левую сторону:

∫(dx / (x^2 - x^2y)) = ∫(dx / (x^2(1 - y)))

Теперь проведем частное интегрирование, вынесем x^2 за скобку и проинтегрируем 1 / (1 - y) по y:

= ∫(dx / (x^2(1 - y))) = (1/x^2) ∫(dy / (1 - y))

Теперь интегрируем правую сторону:

-∫(dy / (xy^2 + y^2)) = -∫(dy / (y(x^2 + 1)))

= -(1/(x^2 + 1)) ∫(dy / y)

= -(1/(x^2 + 1)) ln|y| + C1

Где C1 - произвольная константа.

Теперь вернемся к левой стороне и проинтегрируем:

(1/x^2) ∫(dy / (1 - y)) = (1/x^2) ln|1 - y| + C2

Где C2 - еще одна произвольная константа.

Таким образом, получаем два интеграла:

(1/x^2) ln|1 - y| + C2 = -(1/(x^2 + 1)) ln|y| + C1

Теперь объединим константы C1 и C2 в одну константу C:

(1/x^2) ln|1 - y| + C = -(1/(x^2 + 1)) ln|y| + C

Теперь давайте рассмотрим начальные условия: у = 1 при x = 1. Подставляем их:

(1/1^2) ln|1 - 1| + C = -(1/(1^2 + 1)) ln|1| + C

0 + C = -(1/2) ln(1) + C

C = 0

Таким образом, мы получили частичное решение дифференциального уравнения:

(1/x^2) ln|1 - y| = -(1/(x^2 + 1)) ln|y|