Question

Интеграл ∫ xdx / (x+2)(2x-1)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, вы можете воспользоваться методом частичных дробей. Сначала разложите дробь на простейшие дроби:

$\frac{x}{(x+2)(2x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{2x-1}$

Теперь найдем значения A и B. Умножим обе стороны на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$x = A(2x-1) + B(x+2)$

Теперь подставим различные значения x, чтобы найти A и B. Начнем с x = -2:

$-2 = A(2(-2)-1) + B(-2+2)$

$-2 = -5A$

Теперь найдем значение B, используя x = 1/2:

$\frac{1}{2} = A(2(1/2)-1) + B(1/2+2)$

$\frac{1}{2} = -A + \frac{5}{2}B$

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. -5A = -2
2. -A + 5B = 1/2

Решив эту систему, вы найдете значения A и B:

1. A = 2/5
2. B = 3/10

Теперь мы можем разложить исходную дробь на простейшие:

$\frac{x}{(x+2)(2x-1)} = \frac{2/5}{x+2} + \frac{3/10}{2x-1}$

Теперь вы можете интегрировать каждую из этих дробей по отдельности:

$\int \frac{2/5}{x+2} dx + \int \frac{3/10}{2x-1} dx$

Интегралы этих дробей выглядят следующим образом:

$\frac{2}{5} \ln| x + 2| + \frac{3}{10} \ln|2x - 1| + C$

Где C - постоянная интегрирования.