Question

объясните почему разность любого четырёхзначного числа не оканчивающегося на ноль и числа записанного теми же цифрами в обратном порядке всегда делится на девять

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(a*10^3+b*10^2+c*10+d)-(d*10^3+c*10^2+b*10+a)=

(a*10^3-a)+(b*10^2-b*10)+(c*10-c*10^2)+(d-d*10^3)=

a(10^3-1)+b(10^2-10)+c(10-10^2)+d(1-10^3)=

999a+90b-90c-999d

9(111a+10b-10c-111d)

следовательно это число делится на 9 без остатка

Answer 2

Это интересное математическое свойство связано с тем, как числа представлены в позиционной системе счисления.

Пусть у нас есть четырёхзначное число $abcd$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ - цифры (от 0 до 9). Его обратное число будет $dcba$.

Теперь найдем разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке:

$abcd - dcba = 1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)$

Упростим это выражение:

$1000a + 100b + 10c + d - 1000d - 100c - 10b - a$ $= 999a + 90b - 90c - 999d$ $= 9(111a + 10b - 10c - 111d)$

Мы видим, что разность представляется в виде произведения числа 9 и некоторого целого числа (в данном случае $111a + 10b - 10c - 111d$). Таким образом, разность всегда делится на 9.